4.5.1 函数的零点与方程的解-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 学习目标 1.结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系,提升直观想象的核心素养. 2.了解零点的存在定理,会判断零点的个数及零点所在的大致区间,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.函数零点与方程的解 (1)函数的零点. ①定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ②性质. a.当函数图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号. b.两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号. (2)方程、函数、函数图象之间的关系. 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 3.二次函数零点的分布 设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)零点x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如表. 根的分布 图象 所需条件 x1<x2<k k<x1<x2 x1<k<x2 f(k)<0 x1,x2∈ (k1,k2) x1,x2中有且仅有一个在(k1,k2)内 f(k1)·f(k2)<0或f(k1)=0,k1<-<或f(k2)=0,<-<k2 注意:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件. ①两个正根 ②两个负根 ③一个正根,一个负根:x1·x2<0. 函数的零点 角度1　根据函数解析式求函数的零点 [例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=2x+3; (2)f(x)=-x2+2x-1; (3)f(x)=x4-x2; (4)f(x)=2x+3; (5)f(x)=ln x-1. 解:(1)令2x+3=0,解得x=-, 所以函数f(x)=2x+3的零点为-. (2)令-x2+2x-1=0,得x=1, 所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. (3)令x4-x2=0,所以x2(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1或x=-1, 所以函数f(x)=x4-x2的零点为0,1,-1. (4)令2x+3=0,则2x=-3,但是2x>0, 所以2x+3=0无解, 所以函数f(x)=2x+3没有零点. (5)令ln x-1=0,解得x=e, 所以函数f(x)=ln x-1的零点为e. 根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数零点个数. 针对训练1:判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)y=x2-4x; (2)y=x2+x+2; (3)y=3x-5; (4)y=lo|x|; (5)y=(lg x)2-2lg x. 解:(1)令x2-4x=0,得x1=0,x2=4, 所以函数y=x2-4x的零点为0,4. (2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×1×2=-7<0, 所以方程x2+x+2=0无实数解, 所以函数y=x2+x+2不存在零点. (3)令3x-5=0,解得x=log35, 所以函数y=3x-5的零点为log35. (4)令lo|x|=0,解得x=±1, 所以函数y=lo|x|的零点为-1,1. (5)令(lg x)2-2lg x=0,则lg x=0或lg x=2,解得x=1或x=100, 所以函数y=(lg x)2-2lg x的零点是1,100. 角度2　确定函数零点所在区间 [例2] (1)函数f(x)=-x2的零点所在的区间为(　　) A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2) (2)函数f(x)=x3+ex-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:(1)f()=12->0,f(1)=6-1>0, f()=4->0,f(2)=3-4<0, 又f()·f(2)<0,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,由函数零点存在定理,知函数f(x)的零点所在的区间为(,2).故选D. (2)f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,由函数零点存在定理知,单调递增函数f(x)=x3+ex-2零点所在的区间为(0,1).故选A. 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入.将区间端点