4.3.2 对数的运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

4.3.2　对数的运算 1.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和. 这个性质可推广到若干个正因数的积: loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,3,…,k). 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和. (2)loga=logaM-logaN. 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数. (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数. 特别地,logaaN=N. 2.换底公式及导出公式 (1)换底公式:logab=(a>0, 且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). (2)logab=(a>0, 且a≠1;b>0且b≠1). (3)logaN=loNn(a>0, 且a≠1;N>0). (4)logaN=loNn(a>0, 且a≠1;N>0,m≠0). 对数的运算性质 [例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2); (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式= ==. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+ log55 =2log55=2. (1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题. 针对训练1:计算: (1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; (2)lg 2×lg 50+lg 5×lg 20-lg 100×lg 5×lg 2; (3). 解:(1)法一　原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 法二　原式=lg 14-lg()2+lg 7-lg 18 =lg =lg 1=0. (2)原式=lg 2×(lg 5+1)+lg 5×(2lg 2+lg 5)-2lg 5×lg 2 =lg 2lg 5+lg 2+lg 5lg 5 =lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (3)原式===1. 换底公式及其推论的应用 角度1　用已知对数式表示对数值 [例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 解:因为2b=3, 所以b=log23,即log32=, log1456== ===. 用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式. 针对训练2:(1)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528; (2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645. 解:(1)log147=a,log145=b, 所以log3528====. (2)因为log189=a,18b=5,所以log185=b, 所以log3645====. 角度2　应用换底公式及其推论求值 [例3] 计算:(1)log1627×log8132; (2)(log32+log92)(log43+log83). 解:(1)原式=×=×=×=. (2)(log32+log92)(log43+log83) =(log32+)(+) =(log32+log32)(log23+log23) =log32×log23 =×× =. (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (2)巧用公式lobm=logab可使步骤更加简明. 针对训练3:计算: (1)log23×log34×log45×log52; (2)log89×log2732; (3)(log2125+log425+log85)(log52+