3.4 函数的应用(一)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.4　函数的应用(一) 学习目标 1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,提升数学建模、数据分析和数学运算素养. 1.一次函数模型 形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线,应用一次函数的性质,可以求参数值及函数解析式等. 2.二次函数模型 (1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型. (2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小等问题. 3.分段函数模型 (1)分段函数模型. 分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式. (2)分段函数模型的应用. ①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式,需注意分段函数的最值,是各区间上解析式取得的最大值或最小值. ②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解. 一次函数模型 [例1] 甲、乙二人从家步行去公园,甲先出发一直匀速前行,乙后出发匀速前行,且途中休息一段时间后继续以原速前行.家到公园的距离为2 000 m,如图是两人所走的路程s(单位:m)与步行时间t(单位:min)的函数图象. (1)求BC段图象所对应的函数关系式; (2)乙出发多长时间与甲第三次相遇? (3)在速度都不变的情况下,乙希望比甲早18 min到达公园,则乙在步行过程中停留的时间需减少多少min? 解:(1)设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b, 将(30,800),(60,2 000)代入得 解得 所以直线BC所对应的函数表达式为s=40t-400(30≤t≤60). (2)设甲所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n, 则解得 即甲所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200, 解方程组得 即乙出发37.5 min时与甲第三次相遇. (3)当s=2 000时,2 000=24t+200,得t=75, 因为75-60=15, 所以乙希望比甲早18 min到达公园, 则乙在步行过程中停留的时间需要减少3 min. 建立一次函数模型,常设为y=kx+b(k≠0),然后用待定系数法求出k,b的值,再根据单调性求最值或利用方程、不等式思想解题. 针对训练1:为了保护学生的视力,课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的,研究表明:假设课桌的高度为y cm,椅子的高度为x cm,则y应是x的一次函数,现列出两套符合条件的课桌和椅子的高度如表: 第一套 第二套 椅子高度x/cm 40.0 37.0 课桌高度y/cm 75.0 70.2 (1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围); (2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌,它们是否配套?为什么? 解:(1)因为课桌高度y是椅子高度x的一次函数,所以可设为y=kx+b(k≠0),将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式, 得解得所以y与x的函数关系式是y=1.6x+11. (2)把x=42代入上述函数解析式中,得y=1.6×42+11=78.2, 所以给出的这套桌椅是配套的. 二次函数模型 [例2] 某农家旅游公司有客房160间,每间房单价为200元时,每天都客满.已知每间房单价每提高20元,则客房出租数就会减少10间,若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高? 解:设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元. 此时每间房单价为(200+20x)元,而客房出租数将减少10x间,即为(160-10x)间,因此 y=(200+20x)(160-10x) =200(10+x)(16-x) =200(-x2+6x+160) =200[-(x-3)2+169] =-200(x-3)2+33 800. 从而可知,当x=3时,y的最大值为33 800. 因此每间房单价提到200+20×3=260(元)时,每天客房的租金总收入最高. (1)二次函数与二次方程之间有密切的关系,解题时要注意题目中的约束条件. (2)求解二次函数问题应注意二次函数图象的对称性与单调性. (3)解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时,一般建立二次函数模型,还需掌握一些常见的关系式,如利润=(商品销售单价-商品成本单价)×销售量等. 针对训练2:某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(单位:件)与销售单价x(