3.2.2 第1课时 函数奇偶性的定义及判定-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.2.2　奇偶性 学习目标 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义,提升数学抽象的核心素养. 2.能判断函数的奇偶性,能利用奇偶函数的定义和图象解题,提升直观想象的核心素养. 3.掌握奇偶性与单调性的综合运用,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　函数奇偶性的定义及判定 　　罗素说过:“数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面,至少可与其他任何一种文化门类媲美.”对称美是数学美的一个方面,一些数学算式具有对称性,例如1×1=1,11×11=121,111×111=12 321,1 111×1 111=1 234 321.一些函数的图象也具有对称性. 探究:(1)举出一个函数,其图象关于y轴对称; (2)举出一个函数,其图象关于原点对称; (3)点(x,y)关于y轴对称的点与关于原点对称的点的坐标各是什么? 答案:(1)y=x2.(2)y=.(3)(-x,y),(-x,-y). 函数的奇偶性 函数 偶函数 奇函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 结论 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 图象 性质 关于y轴对称 关于原点对称 函数奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=+; (3)f(x)=(x+1). 解:(1)函数f(x)=|x+1|-|x-1|的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)函数f(x)的定义域为I={-1,1}, 因为∀x∈I,-x∈I,且f(1)=f(-1)=0,故f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)因为f(1)=0,f(-1)没有意义,所以f(x)是非奇非偶函数. 根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤 (1)求出函数f(x)的定义域I. (2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步. (3)∀x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 提醒:(1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式. (2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数. 针对训练1:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=+; (4)f(x)= 解:(1)函数f(x)的定义域为I={x|x≠0}, 因为∀x∈I,-x∈I,且f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=|x+1|+|x-1|的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以函数f(x)为偶函数. (3)因为f(x)=+, 所以f(1)=0,f(-1)没有意义,所以f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)= 因为f(x)的定义域为R,∀x∈R,-x∈R, f(0)=0, 当x>0时,-x<0, 故f(-x)=-x2(-x+1)=x2(x-1)=f(x). 当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2(-x-1)=-x2(x+1)=f(x). 综上可得,对任意x∈R,有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 利用奇偶函数图象解题 [例2] 设f(x)为定义在R上的偶函数,当0≤x≤1时,y=3x;当x>1时,y=-x2+4x,直线y=3x与抛物线y=-x2+4x的一个交点为A,如图所示. (1)补全f(x)的图象,写出f(x)的单调递增区间(不需要证明); (2)根据图象写出不等式f(x)<0的解集. 解:(1)由于f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,其图象如图所示. 观察可知f(x)的单调递增区间为(-∞,-2],[0,2]. (2)当x>0时,y=-x2+4x=0,可得x=4,即C(4,0) 根据函数图象可得,当x>4或x<-4时,f(x)<0, 所以f(x)<0的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞). 涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题. 针对训练2:定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示. (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象; (2)比较f(1)与