3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　函数的最大(小)值 函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 ∀x∈D,都有f(x)≤M; ∃x0∈D,使得f(x0)=M ∀x∈D,都有f(x)≥M; ∃x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 思考1:函数y=f(x)的最大值与最小值的几何意义是什么? 提示:函数y=f(x)的最大值是函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标; 函数y=f(x)的最小值是函数y=f(x)图象上最低点的纵坐标. 思考2:函数f(x)=x2+1≥0总成立,f(x)的最小值是0吗? 提示:f(x)的最小值不是0,因为f(x)取不到0. 思考3:函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值为　　　　,最大值为　.  提示:-1　2 利用图象求函数的最值 [例1] 作出函数f(x)=|x-2|(x+1)的图象,说明函数f(x)的单调性,并判断其是否存在最大值和最小值. 解:当x≥2,即x-2≥0时, f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-; 当x<2,即x-2<0时, f(x)=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+. 所以f(x)= 画出该分段函数的图象,如图. 由图象可知,函数f(x)=|x-2|(x+1)在(-∞,]和[2,+∞)上单调递增,在[,2]上单调递减. 观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值. 利用图象求函数最值的方法 (1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点. (3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 针对训练1:已知函数f(x)=x2-|2x-1|-2. (1)作出函数f(x)的图象; (2)写出函数f(x)的单调递减区间; (3)求f(x)在[-2,2]上的最值. 解:函数f(x)=x2-|2x-1|-2, 可化为f(x)= (1)函数f(x)的图象,如图. (2)由图可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(,1). (3)由图可知,f(x)在[-2,2]上的最大值为f(2)=-1,最小值为f(-1)=-4. 利用单调性求最值 [例2] 已知函数f(x)=x+. (1)讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值与最小值. 解:(1)∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-) =(x1-x2)(1-)=, 当0<x1<x2<时,x1-x2<0,x1x2-2<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在区间(0,)上单调递减, 当<x1<x2时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(,+∞)上单调递增, 所以f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,f(x)在[1,]上单调递减,在[,3]上单调递增, 又f(1)=3,f()=2,f(3)=, 所以f(x)在区间[1,3]上的最大值为f(3)=,最小值为f()=2. (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 针对训练2:已知函数f(x)=,且f(1)=10. (1)证明:函数f(x)在(3,+∞)上单调递增; (2)求函数f(x)在区间[2,5]上的最值. (1)证明:因为f(1)=10,可得=10,解得a=9,所以f(x)==x+. ∀x1,x2∈(3,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=, 因为x2>x1>3,所以x1x2>9,可得x1x2-9>0,且x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(3,+∞)上单调递增. (2)解:由(1)知,f(x)在[3,5]上单调递增, ∀0<x1<x2<3时,f(x1)-f(x2)=,其中0<x1x2<9,故x1x2-9<0,且x1-x2<0,故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)