3.2.1 第1课时 函数的单调性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 学习目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,提升数学抽象和直观想象的核心素养. 2.会根据函数单调性的定义,判定证明函数的单调性,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.理解函数最大值与最小值的几何意义,会用函数的单调性求最值、比较大小、解不等式,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　函数的单调性 　　德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均分的.最初遗忘速度很快,以后逐渐缓慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”,根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示). 探究:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左到右是逐渐下降的,说明了记忆的数量与时间有什么关系?遗忘的数量与时间有什么关系? 答案:记忆的数量随着时间的增加而减少.遗忘的数量随着时间的增加而增加. 1.增函数与减函数　 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D: (1)如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增(图①).特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数. (2)如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减(图②).特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 思考:已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出y=f(x)的单调区间,单调递增区间为　　　　　　　　,单调递减区间为　　　　.  提示:[-2,-1],[2,6]　[-1,2] 利用函数图象求单调区间 [例1] 已知函数f(x)=x2-4|x|+3. (1)画出f(x)的图象; (2)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间.(不必证明) 解:(1)因为f(x)=x2-4|x|+3=所以函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间是[-2,0],[2,+∞). 单调递减区间是(-∞,-2],[0,2]. (1)根据函数图象写函数的单调区间时,应根据图象的“上升”或“下降”写出单调区间. (2)如果函数f(x)存在两个或两个以上具有相同单调性的单调区间,那么这些区间不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接. 针对训练1:画出y=|x2+2x-3|的图象,写出其单调区间. 解:令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 作出f(x)的图象,保留其在x轴上及其上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象. 如图所示,由图象可得原函数的单调递增区间是[-3,-1]和[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-3]和[-1,1]. 函数单调性的证明 [例2] 已知函数f(x)=2x+,试判断函数f(x)在区间(0,]上的单调性,并用函数单调性定义证明. 解:函数f(x)=2x+在区间(0,]上单调递减. 证明:∀x1,x2∈(0,],且x1<x2, f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+-)=2(x1-x2)-=(x1-x2)(2-)=(x1-x2)(). 因为0<x1<x2≤, 所以x1-x2<0,4x1x2-1<0,2x1x2>0, 所以f(x1)-f(x2)>0, 所以f(x)=2x+在区间(0,]上单调递减. 利用定义证明或判断函数单调性的一般步骤 针对训练2:求证:函数f(x)=x-在区间(0,+∞)上单调递增. 证明:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=(x1-x2)(1+), 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 利用单调性解不等式 [例3] 已知函数f(x)是定义在[2,+∞)上的增函数,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,)∪(2,+∞) B.[2,6) C.(0,]∪[2,6) D.(0,6) 解析:由题意得,2≤2a2-5a+4<a2+a+4, 解得0<a≤或2≤a<6, 所以实数a的取值范围为(0,]∪[2,6).故选C. 在求解抽象函数不等式时,利用函数单调性将“f”去掉,使其转化为具体的不等式,此时应特别注意函数的定义域. 针对训练3:已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1