3.1.1 函数的概念(一)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念(一) 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养. 2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域,提升数学运算的核心素养. 3.理解区间的概念,并且能够利用区间表示集合. 　　设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数.其中x叫自变量,y叫因变量.这是初中时,我们学习过的函数的概念. 探究:根据以上函数的概念,对于坐标平面内的点(x,y),(1)若y=1,x∈R,y是否是x的函数?(2)若x=1,y∈R,y是否是x的函数? 答案:(1)是. (2)不是. 1.函数的有关概念 (1)一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域. (2)函数的三要素. 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域. 思考1:(1)函数的定义域内最少有几个元素?函数的值域内最少有几个元素? (2)函数y=f(x)图象与直线x=1有几个公共点? 提示:(1)1个;1个. (2)0或1. 2.区间的概念 设a,b是两个实数,且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] {x|x≥a} — [a,+∞) {x|x>a} — (a,+∞) {x|x≤a} — (-∞,a] {x|x<a} — (-∞,a) R — (-∞,+∞) 思考2:集合{x|a≤x≤b}与区间[a,b]有什么区别? 提示:集合{x|a≤x≤b}中,当a>b时,表示空集;当a=b时,表示单元素集合{a};当a<b时,表示由不小于a且不大于b的所有实数组成的集合,即{x|a≤x≤b,a<b}. 区间[a,b]本身隐含a<b,只表示{x|a≤x≤b,a<b}. 函数概念的理解 [例1] 在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是(　　) ①A=Z,B=Z,对应关系f:x→y=; ②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x; ③A={x|-5≤x≤5},B={y|y∈R},对应关系f:x→y:x2+y2=25; ④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y; ⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应法则f:x→y=0. A.①⑤⑥　　　　　B.②④⑤ C.②③④ D.①②③⑤ 解析:①在对应关系f:x→y=下,A={x|x∈Z}中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与之对应,不能确定y是x的函数; ②在对应关系f:x→y2=3x下,A={x|x>0,x∈R}的数在B={y|y∈R}中,有两个数与之对应,不能确定y是x的函数; ③在对应关系f:x→y:x2+y2=25下,A={x|-5≤x≤5}中除5与-5外,在B={y|y∈R}中有两个数与之对应,不能确定y是x的函数; ④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2满足函数定义; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R}不是数集,不满足函数定义; ⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0满足函数定义. 故选D. 判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. 满足上述三条,则对应关系是函数关系. 针对训练1:(1)下列集合A到集合B的对应f不是函数的有(　　) ①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数平方; ②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开平方; ③A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数; ④A=R,B={y|y>0},f:A中的数取绝对值. A.①②③④ B.①③④ C.①② D.②③④ (2)(多选题)对于函数y=f(x),以下说法正确的有(　　) A.y是x的函数 B.对于不同的x值,y值也不同 C.函数是一种对应,是多对一或一对一 D.函数可