3.1.1 函数的概念(二)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.1.1　函数的概念(二) 学习目标 1.会判断两个函数是不是同一个函数,提升数学抽象的核心素养. 2.通过求简单函数的定义域、值域,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. (1)抽象函数的概念. 没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数. (2)复合函数的定义. 如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C⊆A时,称函数y=f(g(x))为f与g在D上的复合函数.其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数. 函数的定义域 角度1　根据函数解析式求定义域 [例1] 求下列函数的定义域. (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)0++; (4)f(x)=. 解:(1)由题意得解得-1<x≤2, 所以函数的定义域为(-1,2]. (2)由题意得解得x≥4,且x≠5, 所以函数的定义域为{x|x≥4且x≠5}. (3)由题意得解得x>1,且x≠2, 所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞). (4)由题意得x2-4x-21>0, 则(x+3)(x-7)>0,解得x<-3或x>7. 所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(7,+∞). 根据函数解析式求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零. (2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零. (3)若f(x)中含x0,要注意x≠0. (4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集). 针对训练1:求下列函数的定义域. (1)f(x)=+; (2)f(x)=(2x+1)0-; (3)f(x)=; (4)y=. 解:(1)由题意,解得x≥1且x≠5, 所以函数的定义域为[1,5)∪(5,+∞). (2)由题意, 解得-1<x≤0且x≠-, 所以函数的定义域为{x|-1<x≤0且x≠-}. (3)由题意,解得x≤1且x≠0, 所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1]. (4)由题意, 解得-2≤x<2且x≠-. 所以函数的定义域为[-2,-)∪(-,2). 角度2　形如f(g(x))函数的定义域 [例2] (1)若函数y=f(x)的定义域为[1,4],求函数y=f(x+2)的定义域; (2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[2,3],求函数y=f(x)的定义域. 解:(1)因为函数f(x)的定义域为[1,4], 所以使函数f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4,即-1≤x≤2. 所以函数y=f(x+2)的定义域为[-1,2]. (2)因为函数y=f(x+1)的定义域为[2,3], 则2≤x≤3,所以3≤x+1≤4. 所以函数y=f(x)的定义域为[3,4]. (1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围. (2)已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域. 针对训练2:(1)若函数y=f(x)的定义域是[1,2],则函数y=f()的定义域是(　　) A.[1,2] B.[1,4] C.[1,] D.[2,4] (2)已知函数f(2x-3)的定义域为[1,3),则函数f(1-3x)的定义域为(　　) A.(-,] B.(-,] C.(-8,-5] D.(-,] 解析:(1)若函数y=f(x)的定义域是[1,2],则1≤≤2,解得1≤x≤4,故函数y=f()的定义域是[1,4].故选B. (2)因为函数f(2x-3)的定义域为[1,3), 所以1≤x<3,所以-1≤2x-3<3, 所以函数f(x)的定义域为[-1,3), 所以-1≤1-3x<3,所以-<x≤. 所以函数f(1-3x)的定义域为(-,].故选D. 同一个函数的判定 [例3] (多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x0与g(x)= C.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 D.f(x)=·,g(x)= 解析:A中,f(x)=-x,g(x)=x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不是同一个函数;B中,f(x)=x0=1(x≠0),g(x)==1(x≠0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数;C中,f(x)=x2-2x-1与 g(t)=t2-2t-1,对应关系和定义域均相同,故是同一个函数;D中,f(x)=·的定义域为{x|x≥1},而g(x)=的定义域为{x|x≥1或x≤-1},定义域不同,所以不是同一个函数.故选