2.3 第2课时 一元二次不等式的解法及应用(习题课)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　一元二次不等式的解法及应用(习题课) 解简单的分式不等式 [例1] 解下列不等式. (1)≤0; (2)>1. 解:(1)原不等式可化为≥0, 所以 解得x≤-或x>3, 所以原不等式的解集为{x|x≤-或x>3}. (2)原不等式可化为-1>0, 所以>0,即>0, 解得x<-2. 所以原不等式的解集为{x|x<-2}. 分式不等式的解法如下: 类型 同解不等式 >0(<0) (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: (ax+b)(cx+d)>0(<0) ≥0(≤0) (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: >k(<k, ≥k,≤k)(其中k为非零实数,a,b,c,d为常数) 先移项通分转化为上述两种形式,再求解 针对训练1:解下列不等式. (1)≥0; (2)<2. 解:(1)原不等式可化为≤0, 所以所以 即-<x≤1. 所以原不等式的解集为{x|-<x≤1}. (2)由<2,得-2=<0, 即>0,所以(x+5)(x+2)>0, 所以x>-2或x<-5, 所以原不等式的解集为{x|x>-2或x<-5}. 一元二次不等式在实际问题中的应用 [例2] 某施工单位在对一个长800 m,宽600 m的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围. 解:设花坛的宽度为x m,则草坪的长为(800-2x) m,宽为(600-2x) m. 根据题意,得(800-2x)(600-2x)≥×800×600, 整理得x2-700x+60 000≥0,0<x≤300, 解得x≥600(舍去)或x≤100, 由题意知x>0,所以0<x≤100, 所以当0<x≤100时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤 (1)理解题意,搞清量与量之间的关系. (2)设出起关键作用的未知数,建立相应的不等关系,把实际问题转化为一元二次不等式(组). (3)解这个一元二次不等式(组),得到实际问题的解. 针对训练2:某厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100(5x+1-)元.要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围. 解:由题可知,200(5x+1-)≥3 000, 化简可得5x2-14x-3≥0, 解得x≤-或x≥3. 又1≤x≤10,所以3≤x≤10. 所以x的取值范围为{x|3≤x≤10}. 一元二次不等式在R上恒成立、能成立问题 [例3] (1)已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0在R上恒成立(即解集为R),求实数a的取值范围; (2)已知关于x的不等式ax2+(1-a)x+1<0在R上能成立(解集不是空集),求实数a的取值范围; (3)若关于x的不等式ax2-2ax-3>0的解集为空集,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=0时,1≥0恒成立,符合题意; 当a≠0时,只要解得0<a≤1. 综上,实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}. (2)当a=0时,x+1<0⇒x<-1,符合题意; 当a<0时,ax2+(1-a)x+1<0一定有解,符合题意; 当a>0时,只需Δ=(1-a)2-4a>0, 得0<a<3-2或a>3+2. 综上,实数a的取值范围为{a|a<3-2或a>3+2}. (3)当a=0时,不等式为-3>0,解集为; 当a≠0时,只要 解得-3≤a<0. 综上,实数a的取值范围是{a|-3≤a≤0}. (1)不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R. 对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为 (2)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为的条件为 (3)一元二次不等式ax2+bx+c>0在R上有解的条件为a>0或 提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向和与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取等号. 针对训练3:(1)对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a≤0} B.{a|-1≤a<0} C.{a|-1<a≤0} D.{a|-1<a<0} (2)一元二次不等式kx2-2x+6k≥0的解集是空集,则实数k的取值范围是(　　) A.{k|k<-或k>} B.{k|-<k<} C.{k|-≤k≤} D.{k|k<-} (3)若存在实数x,使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:(1)当a<0时,令Δ=4a2+4a