2.3 第1课时 一元二次不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义,提升数学抽象素养. 2.能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,提升数形结合能力,提升数学运算素养. 3.通过求解实际问题中的一元二次不等式模型及含参数的不等式问题,提升数学抽象和数学运算素养. 第1课时　一元二次不等式 　　汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相撞了.事后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2. 探究:根据题意分别列出甲、乙两车车速x满足的不等式组. 答案:甲车: 乙车: 1.一元二次不等式 (1)一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0. (3)一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使 ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 思考1:下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是　　　　.  提示:①②. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相 等的实数 根x1=x2= - 没有实 数根 y=ax2+bx+c(a>0)的零点 零点x1,x2 零点- 没有零点 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 思考2:情境导入中哪一辆车超过限速?简述理由. 提示:乙车超速,理由: 解0.1x+0.01x2>12, 得x<-40或x>30, 因为x>0,所以x甲>30; 解0.05x+0.005x2>10,得x<-50或x>40, 因为x>0,所以x乙>40,所以乙车超过限速. 解不含参数的一元二次不等式 [例1] 解下列不等式. (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. 解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2. 画出二次函数y=2x2-3x-2的图象(如图①),结合图象得不等式2x2-3x-2>0的解集是{x|x<-或x>2}. (2)不等式可化为3x2-6x+2<0, 对应方程3x2-6x+2=0. 因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程有两个实数根,解得x1=1-,x2=1+. 画出二次函数y=3x2-6x+2的图象(如图②),结合图象得不等式3x2-6x+2<0的解集是 {x|1-<x<1+}. 所以不等式-3x2+6x-2>0的解集是 {x|1-<x<1+}. (3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=, 画出二次函数y=4x2-4x+1的图象(如图③),结合图象得不等式4x2-4x+1≤0的解集是{x|x=}. (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0, 所以方程x2-2x+2=0无解. 画出二次函数y=x2-2x+2的图象(如图④),结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正. (2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象. (5)根据图象写出不等式的解集. 针对训练1:解下列不等式. (1)3x2+2x>2-3x;(2)9x2-6x+1>0; (3)-2x2+x+1<0;(4)x2-4x+5<0. 解:(1)原不等式移项整理,得3x2+5x-2>0. 因为Δ=49>0,方程3x2+5x-2=0有两个实数解,即x1=-2,x2=. 画出函数y=3x2+5x-2的图象如图①,由图象得不等式的解集为{x