2.2 第2课时 基本不等式的应用(习题课)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　基本不等式的应用(习题课) 利用基本不等式求解实际问题中的最值 [例1] 如图,某广场要划定一矩形区域ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区,这三块绿化区四周和绿化区之间均设有1 m宽的走道,设一块绿化区小矩形的一边长为x m,另一边长为y m,已知三块绿化区的总面积为200 m2. 求矩形区域ABCD占地面积的最小值,并指出相应的x,y的值. 解:由题意3xy=200,即y=,x>0, 所以矩形区域ABCD占地面积 S=(3x+4)(y+2), 3xy+4y+6x+8=208+6x+≥ 208+2=208+80=288, 当且仅当6x=,即x=,y=10时,等号成立, 所以矩形区域ABCD占地面积的最小值为288 m2,相应的x=,y=10. 建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程 (1)找到解题切入点; (2)字母表示相关量; (3)找出已知隐含的“和定值”或“积定值”; (4)根据目标量表达式的结构特点,观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定,进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题. 针对训练1:某校为了美化校园环境,计划在学校空地建设一个面积为24 m2的长方形草坪,如图所示,花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉,矩形ABCD上下各留1 m,左右各留1.5 m的空间种植草坪,设花草坪长度为x(单位:m),宽度为y(单位:m),矩形ABCD的面积为s(单位:m2). (1)试用x,y表示s; (2)求s的最大值,并求出此时x,y的值. 解:(1)由题意,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m, 故s=(x-3)(y-2),x>3,y>2. (2)因为xy=24, 所以s=(x-3)(y-2)=xy-(2x+3y)+6≤xy-2+6=6, 当且仅当2x=3y,即x=6,y=4时,取等号, 故s的最大值为6,此时x=6,y=4. 利用基本不等式求条件最值 角度1　“1”代换型 [例2] (1)已知正实数a,b满足3a+b=2,求+的最小值; (2)已知正实数a,b满足a+2b=ab,求2a+b的最小值. 解:(1)因为a>0,b>0, 所以+=+)(3a+b)=2++)≥2+2×=2+, 当且仅当=,且3a+b=2,即a=,b=-1时,等号成立, 所以+的最小值为2+. (2)因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以+=1, 所以2a+b=(2a+b)(+)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即a=b=3时,等号成立, 所以2a+b的最小值为9. 常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 针对训练2:(1)已知x>0,y>0且+=1,求x+y的最小值; (2)已知a>0,b>0,且a+2b=2,求的最小值. 解:(1)因为x>0,y>0,+=1, 所以x+y=(+)(x+y)=++10≥2+10=6+10=16, 当且仅当=,且+=1,即x=4,y=12时,上式取等号. 故当x=4,y=12时,x+y的最小值为16. (2)因为a>0,b>0,所以=+=+)(a+2b) =(3++)≥(3+2)=+, 当且仅当=,且a+2b=2,即b=2-,a=2-2时,等号成立. 所以的最小值为+. 角度2　整体代换型 [例3] 已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16. (1)求2a+b的最小值; (2)求ab的最大值. 解:(1)因为a,b为正实数,所以2a+b≥2,所以(2a+b)2≥8ab, 又ab+2a+b=16,设2a+b=t,则t>0,ab=16-(2a+b)=16-t, 所以t2≥8(16-t),所以t2+8t-128≥0, 所以(t+16)(t-8)≥0, 又t+16>0,所以t-8≥0,t≥8, 即2a+b≥8,当且仅当2a=b,且ab+2a+b=16, 即a=2,b=4时,等号成立. 所以2a+b的最小值为8. (2)由(1)2a+b≥8,所以ab=16-(2a+b)≤16-8=8,当且仅当a=2,b=4时,等号成立, 所以ab的最大值为8. 形如:已知axy+bx+cy+d=0,求xy或bx+cy的最值问题,当d=0时,可以通过同时除以xy化为“1”代换型,当d≠0时,可以利用整体代换,构建关于bx+cy或的不等式,这个不等式通过因式分解,注意到有一个因式一定大于0,则可以转化为一次不等式.说明等号成立的条件时,注意联立不等式等号成立的条件和已知条件求解. 提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值,可以先求出一个最值,然后直接