2.1 等式性质与不等式性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.1　等式性质与不等式性质 学习目标 1.通过用不等式(组)表示实际问题,提升数学抽象与数学建模素养. 2.通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 在日常生活中,我们经常看到下列标志: 这些标志的含义是: ①限制高度:装载高度h不得超过3.5 m; ②最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km/h; ③限制质量:装载总质量M不得超过10 t; ④时间范围:7:30到10:00之间; ⑤最高限速:限制行驶时速v不得高于60 km/h. 探究:你能用一个数学式子表示上述关系吗? 答案:①h≤3.5;②v≥50;③M≤10;④7.5≤t≤10;⑤v≤60. 1.不等关系与不等式 我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题,常用的不等号有>,<,≤,≥,≠. 2.两个实数大小关系的基本事实 对于任意的实数a,b,有以下基本事实: a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0. 3.重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 4.等式的基本性质 性质1　如果a=b,那么b=a. 性质2　如果a=b,b=c,那么a=c. 性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc. 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. 思考1:若3a=5b,则(　　) A.= B.= C.= D.= 提示:C. 5.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 5 同向 可加性 ⇒a+c>b+d ⇒ 6 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N,n≥2) 同正 思考2:若a>b,则下列各式正确的是(　　) A.a2>b2 B.b-c<a-c C.ac>bc D.< 提示:B. 用不等式(组)表示不等关系 [例1] 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆,y辆,则 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. 针对训练1:某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解:设甲、乙两种产品的产量分别为x件,y件,由题意可知, 作差法比较代数式的大小 [例2] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小. 解:x3-1-(2x2-2x) =x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2 =(x-1)(x2-x+1) =(x-1)[(x-)2+]. 因为x>1,所以x-1>0. 又(x-)2+>0, 所以(x-1)[(x-)2+]>0. 所以x3-1>2x2-2x. 作差法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差. (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形. (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号. (4)作出结论. 针对训练2:比较3x2-x+1与2x2+x-1的大小. 解:因为(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, 所以3x2-x+1>2x2+x-1. 不等式基本性质的应用 角度1　利用不等式的基本性质判断不等式的真假 [例3] (多选题)下列命题中,正确的是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若2<a<3,-2<b<-1,则3<a-b<5 C.若a>b>0,m>0,则> D.若c>a>b>0,则> 解析:对于A选项,当c=0时命题不成立,故错误; 对于B选项,由2<a<3,-2<b<-1得1<-b<2,故3<a-b<5,故正确; 对于C选项,由于a>b>0,m>0,故-==>0,故正确; 对于D选项,由c>a>b>0得0<c-a<c-b,故>>0,进而>,故正确.故选BCD. 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般