1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象素养. 2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算素养. 1.全称量词命题的否定 全称量 词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M,﹁p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 思考1:命题“∀x∈R,x2-x+m>0”的否定是　　　　　　　.　  提示:∃x∈R,x2-x+m≤0. 2.存在量词命题的否定 存在量 词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M, p(x) ∀x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 思考2:命题“∃x>0,3x-1≤0”的否定是　　　　.  提示:∀x>0,3x-1>0. 常见正面词语的否定举例: 正面 词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面 词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n+1个 全称量词命题的否定与真假的判断 [例1] 写出下列全称量词命题p的否定﹁p,并判断p与﹁p的真假. (1)p:∀x∈R,x2+2x+5>0; (2)p:对任意的实数m,方程x2+mx-1=0有实数根; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数. 解:(1)﹁p:∃x∈R,x2+2x+5≤0, 因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0, 所以p为真命题,﹁p为假命题. (2)﹁p:至少存在一个实数m,使得方程x2+mx-1=0无实数根. 因为Δ=m2+4>0,所以p为真命题,﹁p为假命题. (3)﹁p:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直, 因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以p为真命题,﹁p为假命题. (4)﹁p:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数. 因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以p为真命题,﹁p为假命题. (1)对全称量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词; ②否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. (2)全称量词命题否定后的真假判断方法. 若全称量词命题为真命题,其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定就是真命题. 提醒:对于全称量词命题中省略量词的要在其否定中添加相应的量词. 针对训练1:写出下列全称量词命题p的否定﹁p,并判断p与﹁p的真假. (1)p:∀x∈R,2x+1>0; (2)p:每个三角形至少有两个锐角; (3)p:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (4)p:末尾数是偶数的数能被4整除. 解:(1)﹁p:∃x∈R,2x+1≤0, 因为∃x=-1,2x+1=-1≤0, 所以﹁p为真命题,p为假命题. (2)﹁p:存在一个三角形至多有一个锐角. ﹁p为假命题,p为真命题. (3)﹁p:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线. 根据圆的切线的定义,p为真命题,﹁p为假命题. (4)﹁p:存在末尾数是偶数的数,不能被4整除. 存在末尾数是偶数的数例如10,不能被4整除,所以﹁p为真命题,p为假命题. 存在量词命题的否定与真假的判断 [例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1)存在一个平行四边形,它的对角线互相垂直; (2)有些三角形是等边三角形; (3)∃x∈R,x2+4=0; (4)∃x∈N,x2-2x+1≤0. 解:(1)原命题的否定为“任意一个平行四边形,它的对角线不互相垂直”, 原命题为真命题,其否定为假命题. (2)原命题的否定是“所有的三角形都不是等边三角形”, 原命题为真命题,其否定为假命题. (3)原命题的否定是“∀x∈R,x2+4≠0”, 原命题为假命题,其否定为真命题. (4)原命题的否定是“∀x∈N,x2-2x+1>0”. 原命题为真命题,其否定为假命题. (1)对存在量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词; ②否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. (2)存在量词命题否定后的真假判断方法. 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. 针对训练2:写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1)∃x∈R,x2+5≤0; (2)有一个奇数不能被3整除; (3)有些四边形的四个顶点在同一个圆上; (4)有些能被3整除的数不是