1.5.1 全称量词与存在量词-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 学习目标 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,提升数学抽象素养. 2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法,提升逻辑推理素养. 　　 “哥德巴赫猜想”(每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和)与“孪生素数猜想”(存在无穷多个素数p,使得p+2是素数)紧密相关.至今它们都还没有被证明.但是,现在对这两个问题的研究已经有了很大的进展.目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任意一个充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积.”通常简称这个结果为大偶数,可表示为“1+2”的形式.目前看来,“1+1”这颗灿烂的“明珠”并非距我们“一步之遥”. 探究:(1)与文中短语“每一个”意义相同的短语有哪些? (2)与文中短语“存在”意义相同的短语有哪些? 答案:(1)“任意一个”“所有”等. (2)“有一个”“有些”等. 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x,p(x)成立 符号表示 ∀x∈M,p(x) 思考1:用上符号“∀”改写p(x)为一个真命题. (1)p(x):x>2;(2)p(x):2x是偶数. 提示:(1)∀x>3,x>2. (2)∀x∈Z,2x是偶数. 2.存在量词与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x,p(x)成立 符号表示 ∃x∈M,p(x) 思考2:用上符号“∃”改写p(x)为一个真命题. (1)p(x):x2-2=0;(2)p(x):x+2是整数. 提示:(1)∃x∈R,x2-2=0. (2)∃x是整数,x+2是整数. 全称量词命题与存在量词命题的判定 [例1]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)有些实数是无理数; (2)每一个正方形都是平行四边形; (3)四边形的内角和是360°; (4)∃x∈R,x2+4x+4≤0; (5)∀x∈R,x2+2<0; (6)方程2x+1=0有整数解. 解:(1)含有存在量词“有些”,所以命题(1)是存在量词命题. (2)含有全称量词“每一个”,所以命题(2)是全称量词命题. (3)省略全称量词,可以改写为“任意一个四边形的内角和都是360°”,所以(3)是全称量词命题. (4)含有存在量词“∃”,所以命题(4)是存在量词命题. (5)含有全称量词“∀”,所以命题(5)是全称量词命题. (6)省略存在量词,可以改写为“∃x∈Z,2x+1=0”,所以命题(6)是存在量词命题. (1)判断一个命题是不是全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词. (2)要注意有些全称量词命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同. 提醒:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略. 针对训练1:指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)所有实数x都能使|x|+1>0成立; (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解; (3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立; (4)存在实数m,使得m与m的倒数之和等于1. 解:(1)“所有”是全称量词;∀x∈R,|x|+1>0. (2)“所有”是全称量词;∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解. (3)“存在”是存在量词;∃x,y∈Z,3x-2y=10. (4)“存在”是存在量词;∃m∈R,m+=1. 全称量词命题与存在量词命题真假的判定 [例2] (多选题)下列命题正确的有(　　) A.∃x∈Z,4<5x<5 B.∃x∈Z,3x2-2x-1=0 C.∀x∈R,3x2-7=0 D.∀x∈R,2x2+3>0 解析:对于A,由4<5x<5,得<x<1,x∉Z,故A不正确; 对于B,当x=1时,3x2-2x-1=0,所以B正确; 对于C,当x=0时,3x2-7≠0,所以C不正确; 对于D,2x2+3≥3>0,所以D正确.故选BD. 全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 (1)全称量词命题的真假判定: 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这