1.4.2 充要条件-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.4.2　充要条件 学习目标 1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维素养. 2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算素养. 充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 思考:原命题:若a>b,则a-2>b-2,写出其逆命题,并判断原命题与逆命题的真假,“a>b”是“a-2>b-2”的什么条件? 提示:逆命题:若a-2>b-2,则a>b;原命题与逆命题都是真命题;充要条件. 充要条件的判断 [例1] (1)(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:xy>0,q:x>0,y>0 B.p:a+5是无理数,q:a是无理数 C.p:三角形是等腰三角形,q:三角形有两个内角相等 D.在△ABC中,p:AB2+AC2=BC2,q:△ABC为直角三角形 (2)(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的有(　　) A.p:a2+b2=0,q:a=0且b=0 B.p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0) C.p:x2-2x-3=0,q:x=3 D.p:x2>4,q:|x|>2 解析:(1)对于A,由xy>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,故p不是q的充要条件,故A错误; 对于B,a+5是无理数能推出a是无理数,a是无理数能推出a+5是无理数,故p是q的充要条件,故B正确; 对于C,三角形是等腰三角形⇔三角形有两个内角相等,故p是q的充要条件,故C正确; 对于D,在△ABC中,AB2+AC2=BC2⇒△ABC为直角三角形,但△ABC为直角三角形⇒AB2+AC2=BC2或AB2+BC2=AC2或BC2+AC2=AB2,故D错误.故选BC. (2)对于A,若a2+b2=0,则只能是a=b=0,若a=b=0,则一定有a2+b2=0,即p是q的充要条件,A正确. 对于B,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,可得a+b+c=0, 反之,当a+b+c=0时,即a×12+b×1+c=0,显然x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,即p是q的充要条件,B正确. 对于C,{x|x2-2x-30}={3,-1}≠{3},即p不是q的充要条件,C错误. 对于D,{x|x2>4}={x|x<-2或x>2}={x||x|>2},即p是q的充要条件,D正确.故选ABD. 充要条件的两个判断方法 (1)定义法:若p⇒q,且q⇒p,即p⇔q,则p是q的充要条件. (2)集合法:对于集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若A=B,则p是q的充要条件. 针对训练1:给出下列各组命题: ①p:ab=0,q:a2+b2=0; ②p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|; ③p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根; ④p:x>2或x<-1,q:x<-1. 其中p是q的充要条件的有(　　) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 解析:①由ab=0不一定有a2+b2=0,如a=1,b=0,故p不是q的充要条件. ②由xy≥0,可得|x|+|y|=|x+y|, 反之,由|x|+|y|=|x+y|,可得xy≥0,故p是q的充要条件. ③方程x2-x-m=0有实根⇔(-1)2+4m≥0,即m≥-,故p不是q的充要条件. ④A={x|x>2或x<-1},集合B={x|x<-1},因为A≠B,所以p不是q的充要条件. 所以p是q的充要条件的有1组.故选A. 充要条件的证明 [例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件. (提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 证明:设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1. 充分性(p⇒q): 因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, 即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0, 因为ab≠0, 所以a2-ab+b2=(a-b)2+b2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1. 必要性(q⇒p): 因为a+b=1,所以b=1-a, 所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0. 综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件. 证明p是q的充要条件分两步,一是充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p. 针对训练2:已知