1.4.1 充分条件与必要条件-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系,提出数学抽象、逻辑思维素养. 2.能利用充分性、必要性解决简单的数学问题,提升逻辑推理和数学运算素养. 　　“八月十五云遮月,正月十五雪打灯”是流传中国广大地区的一句农谚,是中国劳动人民在长期生产实践中总结出来的天气预报经验,反映了节日天气之间的呼应关系.意思是说当年农历八月十五中秋节这天,如果天空被云幕遮蔽(阴天或下雨),看不到中秋圆月,来年正月十五这天就会阴天或下雪.这里,“八月十五云遮月”是“正月十五雪打灯”的一个充分条件.当然,大气活动是一个很复杂的问题,这种规律性不是在每个地方、每个年份都能够对应得上. 探究:“立秋下雨万物收,处暑下雨万物丢.”根据此谚语,“万物收”的充分条件是什么? 答案:立秋下雨. 1.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件. 思考1:判断下列命题的真假. (1)“a=2”是“a>1”的充分条件; (2)“a>1”是“a=2”的必要条件; (3)若p是q的充分条件,则条件p是唯一的. 提示:(1)真命题;(2)真命题;(3)假命题. 2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 思考2:(1)写出△ABC为等边三角形的两个充分条件; (2)写出△ABC为等边三角形的三个必要条件. 提示:(1)AB=AC=BC;∠A=∠B=∠C. (2)AB=AC;∠A=∠B;∠A=60°. 充分、必要条件的概念及判断 [例1]下列各题中,判断p是q的什么条件. (1)p:a2+b2=0,q:a+b=0; (2)p:a+b>4,q:a>2且b>2; (3)p:a>b,q:ac>bc; (4)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等. 解:(1)a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,即p⇒q, 取a=1,b=-1,虽有a+b=0,但是a2+b2=2≠0, 所以q p,所以p是q的充分不必要条件. (2)若a+b>4,则a>2且b>2不一定成立,例如a=2,b=3,即p q, 反之,a>2且b>2,则a+b>4一定成立,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件. (3)a>b不能推出ac>bc,且ac>bc不能推出a>b,即p q且q p,故p是q的既不充分也不必要条件. (4)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等. 由平面几何知识,两个三角形相似不一定全等,但两个三角形全等一定相似, 即p q,q⇒p,故p是q的必要不充分条件. 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法. ①确定谁是条件,谁是结论; ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法. ①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 针对训练1:指出下列各题中,p是q的什么条件. (1)p:x为自然数,q:x为整数; (2)p:a<b,q:<1; (3)p:x2>1,q:x-1>0; (4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形. 解:(1)x为自然数,则x一定为整数,即p⇒q,反过来,x为整数,则x不一定是自然数,例如x=-1,即q p,故p是q的充分不必要条件. (2)当a=-2,b=-1时,-2<-1,推不出<1,知p q,又当a=1,b=-2时,<1推不出1<-2,知q p,所以p是q的既不充分也不必要条件. (3)当x=-2时,x2=4>1,而x-1=-2-1<0,所以p q. 当x-1>0,即x>1,有x2>1,所以q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. (4)因为四边形的对角线相等 四边形是矩形,即p q, 当四边形是矩形⇒四边形的对角线相等,即q⇒p, 所以p是q的必要不充分条件. 充分条件、必要条件与集合的关系 [例2] 指出下列各题中,p是q的什么条件. (1)p:0<x<1,q:0<x<3; (2)p:-1<x<2,q:0<x<2; (3)p:1<x<3,q:2<x<4. 解:(1)设A={x|0<x<1},B={x|0<x<3}, 因为A⫋B,所以p⇒q,q p, 所以p是q的充分不必要条件. (2)设A={x|-