1.3 第2课时 补 集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　补　集 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定的集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 3.能使用Venn图或数轴表达集合的关系和运算,提升直观想象的素养. 1.全集 (1)定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作 U. 2.补集 (1)定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA. (2)符号表示:∁UA={x|x∈U,且x∉A}. (3)图形表示: 思考1:已知集合U={-2,-1,0,1,3},A={1,3},则∁UA=　　　　　.  提示:{-2,-1,0}. 3.补集的运算性质 性质 说明 (∁UA)∪A=U 任何集合与其补集的并集为全集 (∁UA)∩A= 任何集合与其补集的交集为空集 ∁U(∁UA)=A 任何集合补集的补集为集合本身 ∁UU=, ∁U=U 全集的补集为空集,空集的补集为全集 思考2:(1)设全集U={1,2,3,4,5}.若∁UA={1,2,5},则集合A=　　　　　;  (2)用实数集R和有理数集Q及补集符号∁表示无理数集. 提示:(1){3,4}.(2)∁RQ. 补集运算 [例1] (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　;  (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=　　　　.  解析:(1)法一(定义法) 因为A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, 所以U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 法二(Venn图法) 满足题意的Venn图如图所示. 由图可知B={2,3,5,7}. (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示. 由补集的定义可知∁UA={x|x<-3或x=5}. 答案:(1){2,3,5,7}　(2){x|x<-3或x=5} 求集合的补集的方法 (1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. (2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. (3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题. 提醒:对于涉及连续数集的补集运算,可借助数轴的直观性求解,但要注意端点值的特殊情况. 针对训练1:(1)已知集合U={x∈Z|-3<x<2},A={-1,1},则∁UA等于(　　) A.{-3,-2,0} B.{-2,0} C.{-3,0} D.{-2,-1,0,1} (2)已知全集A={x|1≤x≤6},集合B={x||x-3|<2},则∁AB等于(　　) A.{x|x≥5} B.{x|x≤1或x≥5} C.{x|x=1或5<x≤6} D.{x|x=1或5≤x≤6} 解析:(1)因为U={-2,-1,0,1},A={-1,1}, 所以∁UA={-2,0}.故选B. (2)因为A={x|1≤x≤6},B={x|1<x<5},所以∁AB={x|x=1或5≤x≤6}.故选D. 集合交、并、补的综合运算 [例2] (1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求:(∁UA)∩(∁UB),A∩(∁UB),(∁UA)∪B; (2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁RB,∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解:(1)法一　因为∁UA={1,2,6,7,8}, ∁UB={1,2,3,5,6}, 所以(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6}, A∩(∁UB)={3,5}, (∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}. 法二　 画出Venn图,如图所示,可得(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6},A∩(∁UB)={3,5}, (∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}. (2)把集合A,B在数轴上表示如图. 由图知∁RB={x|x≤2或x≥10}, A∪B={x|2<x<10}, 所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 因为∁RA={x|x<3或x≥7}, 所以(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 集合交、并、补综合运算的方法 提醒:涉及补集的有关运算应先求集合的补集. 针对训练2:(1)已知全集U=N*,集合A={2,3,4,5},B={4,5,6,7},求(∁UA)∩B; (2)设全集U={x|x≥-2},A={x|2<x<10},B={x|2≤x≤8}.求∁UA,(∁UA)∩B,A∩B,∁U(A∩B). 解:(1)法一　因为A={2,3,4,5},所以∁UA=A={1,6,7,8,…},又B={4,5,6