1.2 集合间的基本关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.2　集合间的基本关系 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集. 2.在具体的情境中,了解空集的含义. 3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象素养. 1.子集 (1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集. (2)符号表示:A⊆B(或B⊇A).读作“A包含于B”(或“B包含A”). (3)Venn图表示: (4)性质: ①任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. ②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C. 思考1:若A={1,x},B={1,3,5},A⊆B,则x的值是什么?若A⊆B不成立,写出一个符合条件的集合A. 提示:3或5;A={1,2}. 2.集合相等 (1)定义:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等. 也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (2)符号表示:A=B. (3)Venn图表示: (4)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C. 思考2:若A={x,y},B={1,2},A=B,则x+y=　　　,x-y=　　　.  提示:3;±1. 3.真子集 (1)定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集. (2)符号表示:A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3)Venn图表示: (4)性质:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C. 思考3:用符号⫋连接以下数集:N,N*,Z,R,Q. 提示:N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R. 4.空集 (1)定义:不含任何元素的集合,叫做空集. (2)符号表示:. (3)规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 思考4:{0}与相同吗? 提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而表示空集,其不含有任何元素,故{0}与不相同. 子集与真子集的概念 角度1　子集的列举、子集的个数 [例1] 写出下列集合的所有子集: (1){1}; (2){1,2}; (3){1,2,3}. 解:(1),{1}. (2),{1},{2},{1,2}. (3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. (1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏. (2)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论: ①的子集只有1个. ②{a}的子集有2个. ③{a,b}的子集有4个. ④{a,b,c}的子集有8个. …… 含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集. 提醒:写一个集合的子集时,不要忘记和其本身. 针对训练1:设Y是由6的全体正约数组成的集合,写出Y的所有子集. 解:因为6的正约数有1,2,3,6, 所以Y={1,2,3,6}, 所以Y的子集有,{1},{2},{3},{6},{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6},{1,2,3,6},共16个. 角度2　集合关系的判断 [例2] 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; 解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B. (3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A⫋B. 判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断: (1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系. (2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系. (3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断. (4)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍. 针对训练2:判断下列每对集合之间的关系: (1)A={x|x=2k,k∈N},B={y|y=4m,m∈N}