1.1 集合的概念-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.1　集合的概念 学习目标 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,提升数学抽象素养. 2.在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,提升数学运算素养. 　　著名数学家华罗庚说:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用到数学.只要探究问题,就有研究对象,把一些研究对象放在一起作为一个整体看待,就形成一个集合.数学的研究,无处不用集合. 探究:试举一个方程,它在正数范围内无解,但在负数范围内有解. 答案:x+1=0在正数范围内无解,在负数范围内解为x=-1. 1.元素与集合的相关概念 (1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 思考1:(1)高一年级所有“高个子男生”能否构成一个集合? (2)高一年级所有身高高于175 cm的男生能否构成一个集合? (3)英语单词mathematics(数学)中的所有字母构成的集合中有几个元素? 提示:(1)不能构成集合,因为“高个子男生”没有明确的标准. (2)能构成一个集合,因为标准确定. (3)8个元素. 2.元素与集合的关系 (1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A. (2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A. 思考2:记思考1第(3)问中的集合为A,用∈和∉表示元素a和b与集合A的关系. 提示:a∈A,b∉A. 3.常用数集及符号表示 数集 名称 非负整 数集(自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 字母 表示 N N*或N+ Z Q R 思考3:用∈或∉填空. (1)0　　　N;(2)0　　　N*;(3)　　　Z;(4)　　　Q;(5)π　　　R.  提示:(1)∈;(2)∉;(3)∉;(4)∈;(5)∈. 4.集合的表示方法 (1)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. (2)描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}. 集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 作为一个集合的元素,必须是确定的,不能确定的对象就不能构成集合 集合A={1,2,3},则1∈A,4∉A 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的) 集合{x,x2-x}中的x应满足x≠x2-x,即x≠0,且x≠2 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1,0}和{0,1}是同一个集合 集合的概念 [例1] 下列元素不能组成集合的是(　　) A.不超过20的质数 B.π的近似值 C.方程x2=1的实数根 D.函数y=x2,x∈R的最小值 解析:对于选项A,由“不超过20”和“质数”这两个标准可以明确数值为2,3,5,7,11,13,17,19,故不超过20的质数可以组成集合;对于选项B,因为π是无限不循环小数,在没有明确近似值的精确度的情况下,无法确定π的近似值是多少,所以选项B中元素不能组成集合;对于选项C,因为方程x2=1的实数根是明确的两个数值1和-1,所以方程x2=1的实数根可以组成集合;对于选项D,由二次函数的性质可知,函数y=x2,x∈R的最小值是明确的数值0,所以函数y=x2,x∈R的最小值可以组成集合.故选B. 判定一组对象能否构成集合,关键是看所给的这组对象是否确定,也就是是否有明确的标准.若一组对象能构成集合,则给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的. 针对训练1:(多选题)下列每组对象能构成集合的是(　　) A.比较小的数 B.不大于10的偶数 C.所有三角形 D.高个子男生 解析:在A中,比较小的数,没有确定性,故A不能构成集合; 在B中,不大于10的偶数,有确定性,故B能构成集合; 在C中,所有三角形,具有确定性,故C能构成集合; 在D中,高个子男生,没有确定性,故D不能构成集合.故选BC. 元素与集合的关系 [例2] 已知集合A有三个元素a2-3a,2a+1,5,且-2∈A,求实数a的值. 解:因为-2∈A, 所以2a+1=-2或a2-3a=-2, 若2a+1=-2,则a=-,此时集合A中含有三个元素-2,5,,符合题意; 若a2-3a=-2,则a=1或a=2, 当a=1时,集合A中含有三个元素3,5,-2,符合题意