5.1.2 弧度制-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

5.1.2　弧度制 学习目标 1.借助圆建立弧度制的概念,提升数学抽象、直观想象的核心素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 1.角的单位制及换算关系 (1)角的单位制. ①角度制. 规定周角的 为1度的角,用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 度 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 ②弧度制. 长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角.以 作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作 . 半径长 圆心角 弧度 弧度 ③角的弧度数的求法. 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|= . 一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 . 正数 负数 0 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)角度与弧度的换算. 2π rad π rad 180° 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (3)一些特殊角与弧度数的对应关系. 60° 180° 2π 0 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2.弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 α·R 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 3.若扇形的周长为定值,则当扇形中心角为2弧度时,扇形面积有最大值. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 [例1] 下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 弧度制的概念 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误.故选A. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. (3)求一个角的弧度数先求这个角的弧度数的绝对值,然后结合角的正负写出这角的弧度数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练1:一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　) √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 角度与弧度的换算 [例2] 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°; (2)-800°; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 提醒:用弧度表示角,涉及π时,直接保留π,不要将π写成小数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练2:将下列角度与弧度进行互化. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (3)10°; (4)-855°. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 弧度制的综合应用 (1)若α,β的终边关于x轴对称; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)若α,β的终边关于y轴对称; (3)若α,β的终边关于原点对称. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍. (2)在同一个式子中,角度与弧度不能混合用,必须保持单位统一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正确的写法. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 扇形的弧长公式和面积公式的应用 [例4] 扇形AOB的面积是4 cm2,它的周长是10 cm,求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB的长. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法 首先,将角度转化为弧度表示,弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化,所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地,在几何图形中研究的角,其范围是(0,2π);其次,利用α,l,R,S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意: (1)看清角的度量制,选用相应的公式; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长,对于扇形周长或面积的最值问题,通常转化为某个函数的最值问题. (3)扇形的面积公式的记忆理解可以类比三角形的面积公式. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练4:已知扇形AOB的周长为10 cm,求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心