2.3 第2课时 一元二次不等式的解法及应用(习题课)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

第2课时　一元二次不等式的解法及应用(习题课) 师生互动 合作探究 [例1] 解下列不等式. 解简单的分式不等式 分式不等式的解法如下: 针对训练1:解下列不等式. 一元二次不等式在实际问题中的应用 [例2] 某施工单位在对一个长800 m,宽600 m的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围. 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤 (1)理解题意,搞清量与量之间的关系. (2)设出起关键作用的未知数,建立相应的不等关系,把实际问题转化为一元二次不等式(组). (3)解这个一元二次不等式(组),得到实际问题的解. 一元二次不等式在R上恒成立、能成立问题 [例3] (1)已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0在R上恒成立(即解集为R),求实数a的取值范围; (2)已知关于x的不等式ax2+(1-a)x+1<0在R上能成立(解集不是空集),求实数a的取值范围; (1)不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R. 提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向和与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取等号. 针对训练3:(1)对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a≤0} B.{a|-1≤a<0} C.{a|-1<a≤0} D.{a|-1<a<0} 解析:(1)当a<0时,令Δ=4a2+4a(a+2)=8a2+8a<0,所以8a(a+1)<0,所以-1<a<0, 当a=0时,-2<0成立. 综上,实数a的取值范围是{a|-1<a≤0}.故选C. √ √ (3)若存在实数x,使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立,则实数a的取值范围是　　　　.  {a|a<4} 判别式、根与系数关系与一元二次不等式的综合问题 典例探究:已知关于x的方程x2-2mx+4m2-3=0的两根为α, β,试求(α-1)2+(β-1)2的最大值与最小值. √ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 A.{x|x<-1或-1<x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1或x≥2} D.{x|-1<x≤2} √ 1 2 3 4 3.关于x的不等式ax2-ax+4>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(　 　) A.{a|0≤a<16} B.{a|0≤a≤16} C.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4} √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4.某服装厂生产某种风衣,月销售量x(单位:件)与售价p(单 位:元/件)的关系为p=300-2x;生产x件的成本(单位:元)为r= 500+30x,为使月获利不少于8 600元,则月产量x需满足(　　) A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 解析:由题意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8 600,即x2-135x+ 4 550≤0,则(x-65)(x-70)≤0, 故65≤x≤70.故选C. √ √ √ √ √ √ √ [例4] 若存在1≤a≤3,使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围为　　　 　.  {m|-6<m<2} 点击进入 课时作业 谢谢观看 (1)≤0; 解:(1)原不等式可化为≥0, 所以解得x≤-或x>3, 所以原不等式的解集为{x|x≤-或x>3}. (2)>1. 解:(2)原不等式可化为-1>0, 所以>0,即>0,解得x<-2. 所以原不等式的解集为{x|x<-2}. 类型 同解不等式 >0(<0) (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: (ax+b)(cx+d)>0(<0) ≥0(≤0) (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: >k(<k,≥k,≤k)(其中k为非零实数,a,b,c,d为常数) 先移项通分转化为上述两种形式,再求解 (1)≥0; 解:(1)原不等式可化为≤0, 所以所以 即-<x≤1.所以原不等式的解集为{x|-<x≤1}. 解:(2)由<2,得-2=<0, 即>0,所以(x+5)(x+2)>0,所以x>-2或x<-5, 所以原不等式的解集为{x|x>-2或x<-5}. (2)<2. 解:设花坛的宽度为x m,则草坪的长为(800-2x) m,宽为(600-2x) m. 根据题意,得(800-2x)(600-2x)≥×800×600, 整理得x2-700x+60 000≥0,0<x≤300, 解得x≥600(舍去)或x≤100, 由题意知x>0,所以0<x≤100, 所以当0<x