2.2 第2课时 基本不等式的应用(习题课)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

第2课时　基本不等式的应用 (习题课) 师生互动 合作探究 [例1] 如图,某广场要划定一矩形区域ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区,这三块绿化区四周和绿化区之间均设有1 m宽的走道,设一块绿化区小矩形的一边长为x m,另一边长为y m,已知三块绿化区的总面积为200 m2. 求矩形区域ABCD占地面积的最小值,并指 出相应的x,y的值. 利用基本不等式求解实际问题中的最值 建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程 (1)找到解题切入点; (2)字母表示相关量; (3)找出已知隐含的“和定值”或“积定值”; (4)根据目标量表达式的结构特点,观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定,进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题. 针对训练1:某校为了美化校园环境,计划在学校空地建设一个面积为24 m2的长方形草坪,如图所示,花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉,矩形ABCD上下各留1 m,左右各留1.5 m的空间种植草坪,设花草坪长度为x(单位:m),宽度为y(单位:m),矩形ABCD的面积为s(单位:m2). (1)试用x,y表示s; 解:(1)由题意,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m, 故s=(x-3)(y-2),x>3,y>2. (2)求s的最大值,并求出此时x,y的值. 利用基本不等式求条件最值 角度1　“1”代换型 (2)已知正实数a,b满足a+2b=ab,求2a+b的最小值. 常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 角度2　整体代换型 [例3] 已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16. (1)求2a+b的最小值; (2)求ab的最大值. 解:(2)由(1)2a+b≥8,所以ab=16-(2a+b)≤16-8=8,当且仅当a=2,b=4时,等号成立, 所以ab的最大值为8. 提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值,可以先求出一个最值,然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值. 针对训练3:已知a,b>0,且ab=a+b+3. (1)求ab的最小值; (2)求a+b的最小值. 解:(2)由(1)ab≥9,所以a+b=ab-3≥9-3=6,当且仅当a=b=3时,取等号,所以a+b的最小值为6. 利用不等式求解含参数的不等式恒成立问题 √ √ 一些比较简单的含有参数a的不等式恒成立问题,若含有参数的代数式可以直接求出用参数表示的最大值或最小值,则进一步可以直接求解含有参数的不等式,求出参数的取值范围;若是直接求解最值比较困难,可以考虑分离参数,分离参数后,不含参数的一边的代数式,若可以利用基本不等式求其最大值或最小值,此时若a≥y恒成立,则a≥y的最大值,若a≤y恒成立,则a≤y的最小值. 1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为(　 　) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2.直角三角形的斜边长为5时,其面积有最　　　(“大” 或“小”)值为　　　　. 大 1 2 3 4 9 4.当1<x<2时,不等式x2+mx+2>0恒成立,则m的取值范围是　　　 　.  1 2 3 4 √ √ 8 100 16 点击进入 课时作业 谢谢观看 解:由题意3xy=200,即y=,x>0, 所以矩形区域ABCD占地面积S=(3x+4)(y+2), 3xy+4y+6x+8=208+6x+≥208+2=208+80=288, 当且仅当6x=,即x=,y=10时,等号成立, 所以矩形区域ABCD占地面积的最小值为288 m2,相应的x=,y=10. 解:(2)因为xy=24, 所以s=(x-3)(y-2)=xy-(2x+3y)+6≤xy-2+6=6, 当且仅当2x=3y,即x=6,y=4时,取等号, 故s的最大值为6,此时x=6,y=4. [例2] (1)已知正实数a,b满足3a+b=2,求+的最小值; 解:(1)因为a>0,b>0,所以+=+)(3a+b)=2++)≥ 2+2×=2+, 当且仅当=,且3a+b=2,即a=,b=-1时,等号成立, 所以+的最小值为2+. 解:(2)因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以+=1, 所以2a+b=(2a+b)(+)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即a=b=3时,等号成立, 所以2a+b的最小值为9. 针对训练2:(1)已知x>0,y>0且+=1,求x+y的最小值; 解:(1)因为x>