2.2 第1课时 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

2.2　基本不等式 学习目标 1.通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养. 3.通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 第1课时　基本不等式 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 《几何原本》中的几何代数法是用几何方法研究代数问题,这种方法是数学家处理问题的重要依据,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证 明.如图是我国古代数学家赵爽创作的弦图,弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1.基本不等式 ≤ a=b 算术平均数 几何平均数 不小于 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 ≥ 重合 a=b 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 既不充分也不必要 2.基本不等式与最值 已知x,y都是正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最 值 .(简记:和定积最大) (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最 值 .(简记:积定和最小) 大 小 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 思考2:若矩形的面积为100,则其周长的最小值为　　　;若矩形的周长为40,则矩形面积的最大值为　　　　.  40 100 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 角度1　直接利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)已知0<x<8,求x(8-x)的最大值; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (4)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练1:(1)已知0<x<1,求2x(3-2x)的最大值; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 角度2　凑定值后利用基本不等式求最值 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)使用基本不等式求一个式子的最值时,若所给式子不满足直接应用基本不等式的条件,可以利用“拼凑项”的方法变形后应用基本不等式求解. (2)拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正,二定,三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 应用基本不等式证明不等式 角度1　直接利用基本不等式证明 [例3] 已知a>0,b>0,c>0,证明以下不等式,并说明等号成立的条件. (1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 利用基本不等式证明不等式的策略 从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. 一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 提醒:利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练3:设a,b为正实数,证明以下不等式,并说明等号成立的条件. (1)(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 角度2　利用“1”的代换证明不等式 [例4] 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 知识梳理·自主探究 师生互动·