第06讲：数列求和 （必刷5大考题+5大题型）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）

第06讲：数列求和 【考点梳理】 考点一：倒序相加法求和 考点二：错位相减法求和 考点三：裂项相消求和 考点四：分组（并项）求和 考点五：数列和不等式交汇问题 【知识梳理】 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①＝－；②＝；③＝－. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【题型归纳】 题型一：倒序相加法求和 1．（2022上·江西九江·高二统考期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 2．（2022·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（    ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 3．（2022下·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ） A． B． C． D． 题型二：错位相减法求和 4．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列满足，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（2023·陕西·校联考模拟预测）数列为等差数列，为等比数列，公比． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数的最小值． 6．（2023上·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 题型三：裂项相消求和 7．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列的前n项和，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前n项和. 8．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值. 9．（2023上·河北唐山·高二校考期末）已知数列中，，，前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：． 题型四：分组（并项）求和 10．（2023下·贵州·高二校联考期末）已知数列满足，数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前20项和. 11．（2023下·云南保山·高二校联考期末）设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足求数列的前20项的和. 12．（2023下·安徽阜阳·高二统考期末）已知数列的前项和为，若，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 题型五：数列和不等式交汇问题 13．（2023下·江西·高二统考期末）已知数列满足，，且，. (1)证明：数列为等差数列； (2)记数列的前n项和为，求数列的通项公式，并求出使得不等式成立的n的最小值. 14．（2023下·江西南昌·高二校联考期末）在数列中，，，且.设为满足的的个数. (1)求，的值； (2)设，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 15．（2023下·上海·高二期末）数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 【专题强化】 一、单选题 16．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国·模拟预测）设首项为的数列的前n项和为，，且，则数列的前23项和为（    ） A． B． C． D． 18．（2023上·天津津南·高二校考期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A