专题01 有理数-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（人教版）

专题01 有理数 知识点1：正负数 小学学过的除0以外的数都是正数. 在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数. 大于零的数是正数，小于零的数是负数. 0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界点. 知识点2：有理数的分类 用正、负数表示具有相反意义的量. （1）概念 整数：正整数、0、负整数统称为整数. 分数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. （2）分类：两种 按正、负性质分类： 按整数、分数分类： 知识点3：有理数的相关概念 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 知识点4：有理数的运算 1.有理数的加法 加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 加法运算定律： （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a+b=b+a. （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）. 2.有理数的减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a-b=a+（-b）. 3.有理数的乘法 乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值. （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0. 乘法运算定律： （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等.即a×b＝ba. （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚. （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加， 即a×﹙b+c﹚＝a×b+a×c. 4.有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数. （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 5.有理数的乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数. （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. （3）0的任何正整数次幂都是0. 6.科学记数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）.这种记数的方法叫做科学记数法.﹙1≤|a|＜10﹚ 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位. （2）保留几个有效数字. 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示. 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105. 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数. 注意： （1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：3.0×104的有效数字是3 . （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字. 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5. 考点剖析 考点一：正负数 【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【变式1-1】何小虎是航天科技六院西安航天发动机有限公司的数控车工、高级技师，他的绝活是在非精密环境中实现产品精密加工．在长三乙火箭发动机喷注器架的生产中，需要加工几项基本尺寸为的深小轴（）范围内的尺寸均为合格品，则下列深小轴的尺寸中合格的是（　　） A．