6.4.1 用样本估计总体的集中趋势-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

6.4　用样本估计总体 6.4.1　用样本估计总体的集中趋势 核心知识目标 核心素养目标 1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数). 2.理解集中趋势参数的统计含义. 通过平均数、中位数、众数的学习,培养学生数据分析,数学运算的核心素养. 1.平均数 (1)样本平均数 平均数也称为均值,是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.若样本容量为n,第i个个体是xi,则样本平均数=.一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为f1,f2,…,fn,则其平均数为x1f1+x2f2+…+xnfn. (2)总体均值与样本均值的关系 实践和理论都表明:在随机抽样的前提下,当样本容量增加时,样本均值会向总体均值μ接近,于是,称为μ的估计. (3)层权 在分层抽样中,用N表示总体A的个体总数,若将总体A分为L层,用Ni表示第i层(i=1,2,…,L)的个体总数,则有N=N1+N2+…+NL. 我们称Wi=(i=1,2,…,L) 为第i层的层权. 对i=1,2,…,L,用表示从第i层抽出样本的均值.我们称=W1+W2+…+WL 是总体均值μ的简单估计. 2.众数 称观测数据中出现次数最多的数是众数,用Mo表示.如果观测数据中每个数出现的次数都相同,它就没有众数,一组数据可以有两个或多个众数.众数作为一组数据的代表,能反映一组数据的集中趋势.众数是一个位置代表值,它不受数据组中极端值的影响. 3.中位数 将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,称处于中间位置的数是中位数,用Me表示. 具体而言,当数据的个数是奇数时,处于中间位置的数就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间两个数的平均数即为中位数.所研究的数据中有一半小于或等于中位数,一半大于或等于中位数,中位数不受数据组中极端值的影响,有较好的稳定性. 4.众数、中位数和平均数的比较 平均数、中位数和众数都是一组数据的代表,它们从不同侧面反映了数据的集中趋势.平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,因此在现实生活中应用较广,但它容易受极端值的影响;中位数对极端值不敏感,但没有利用数据中的所有信息;众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据,也没有利用数据中的所有信息. 1.一组样本数据为18,22,11,13,13,16,9,11,18,13,26,则这组数据的众数为(　C　) A.11 B.12 C.13 D.18 解析:把这组数据按从小到大排列为9,11,11,13,13,13,16,18,18,22,26,则可知其众数为13.故选C. 2.已知一组数据:1,2,2,3,3,3,则这组数据的中位数是(　C　) A.2 B. C. D.3 解析:数据从小到大排列为1,2,2,3,3,3,则这组数据的中位数是×(2+3)=.故选C. 3.下列说法中,不正确的是(　A　) A.数据2,4,6,8的中位数是4,6 B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4 C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是 解析:数据2,4,6,8的中位数为=5,显然A是错误的,B,C,D都是正确的.故选A. 4.某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名,为此出了一份考卷.该卷共有六道单选题,每题答对得20分,答错、不答得0分,满分120分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下: 题号 一 二 三 四 五 六 答对率 80% 70% 60% 50% 40% 30% 则此次调查全体同学的平均分数是　　　　分.  解析:假设全校一共有x人,则每道题答对人数及总分分别为 题号 一 二 三 四 五 六 答对人数 0.8x 0.7x 0.6x 0.5x 0.4x 0.3x 每题得分 16x 14x 12x 10x 8x 6x 所以6道题的总分为66x, 平均分数为=66(分). 答案:66 　样本数据的平均数、中位数和众数 [例1] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁): 甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17; 乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征? 解:(1)甲群市民年龄的平均数为 = 15(岁),中位数为15岁,众数为15岁. 平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的