4.1.3 幂函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

4.1.3　幂函数 核心知识目标 核心素养目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.通过具体实例,结合y=x,y=x2, y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 以五个常见幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,发展学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养. 1.幂函数 (1)定义:一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数y=xα叫作(α次)幂函数. (2)幂函数y=x,y=x2,y=x3,都是正整数次幂函数 y=xn(x∈R,n是正整数)的例子.正整数次幂函数的倒数y=是负整数次幂函数. 负整数次幂函数和正整数次幂函数,统称为整数次幂函数. y=,y=是分数次幂函数. (3)幂函数的图象特征 一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0): ①当α>0时,它在[0,+∞)有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点; ②当α<0时,它在(0,+∞)有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近. 2.常见幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增 定点 (1,1) 1.下列所给出的函数中,是幂函数的是(　B　) A.y=-x3 B.y=x-3 C.y=2x3 D.y=x3-1 解析:由幂函数的定义知,只有B符合.故选B. 2.下列函数中,在(-∞,0)上单调递增的是(　A　) A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y= 3.已知幂函数y=xα的图象经过点(2,4),则f(-3)=　　　　.  解析:由于幂函数y=xα的图象经过点(2,4),即2α=4,解得α=2,故f(-3)=(-3)2=9. 答案:9 4.幂函数y=的定义域为　　　　　　;其奇偶性是　　　　.  解析:因为y==, 所以函数的定义域为(-∞,+∞),且为偶函数. 答案:(-∞,+∞)　偶函数 　幂函数的概念 [例1] 已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是幂函数? 解:若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1±. [即时训练1-1] 已知点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,则t+a等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:因为点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)·xa的图象上, 所以f()=(t-2)()a=27,且t-2=1, 解得t=3,a=-3,所以t+a=3-3=0.故选B. 幂函数解析式特征 (1)xα的系数是1. (2)xα的底数是自变量,指数α为常数. (3)项数只有一项. 　幂函数的图象 [例2] 幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　　) A.-2或0 B.-1 C.0 D.-2 解析:由幂函数在第一象限的单调性可得,m2+2m-3<0,解得-3<m<1.再由m∈Z可得m=-2或-1或0.又从图象可知该函数是奇函数,若m=-2,则m2+2m-3=-3,符合题意;若m=-1,则m2+2m-3=-4,不合题意;若m=0,则m2+2m-3=-3,符合题意,综上,m=-2或0.故选A. [即时训练2-1] 幂函数y=x2,y=x-1,y=,y=在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3 解析:由于在第一象限内直线x=1的右侧时,幂函数y=xα的图象从上到下相应的指数α由大变小,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,同理,y=x-1在第一象限的图象为C4,y=在第一象限内的图象为C2,y=在第一象限内的图象为C3.故选D. (1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性. (2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图). (3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数. 　幂函数的性质 探究角度1