3.2.2 函数的奇偶性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.2.2　函数的奇偶性 核心知识目标 核心素养目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用. 1.通过函数奇偶性的概念和几何意义的学习,让学生结合实例,利用图象抽象出函数性质,达成直观想象和数学抽象的核心素养. 2.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思想方法,发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称. (2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称. 1.下列函数是偶函数的是(　D　) A.y=x B.y=x2,x∈[0,1] C.y= D.y=2x2-3 解析:所给函数中y=x是奇函数,y=x2,x∈[0,1]与y=的定义域关于原点不对称,因此不具有奇偶性,只有选项D正确.故选D. 2.f(x)为定义在R上的奇函数,若f(2)=3,则f(-2) 等于(　A　) A.-3 B.-2 C.3 D.2 解析:函数f(x)是奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.故选A. 3.下列所给四个函数图象中,是偶函数的是　　　　,是奇函数的是　　　　(填序号).  解析:①的图象关于y轴对称,②③的图象关于原点对称,④的图象不具有对称性. 答案:①　②③ 4.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=　　　　.  解析:设x<0, 则-x>0,f(-x)=+1. 又函数f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(-x)=--1. 因此,当x<0时, f(x)的解析式为f(x)=--1. 答案:--1 　函数奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)=|x+3|+|x-3|. 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 因此函数f(x)是奇函数. (2)由得x2=1,即x=±1, 因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数. [即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=+; (4)f(x)= 解:(1)函数f(x)的定义域为I={x|x≠0}, 因为∀x∈I,-x∈I,且f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=|x+1|+|x-1|的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以函数f(x)为偶函数. (3)因为f(x)=+, 所以f(1)=0,f(-1)没有意义,所以f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)= 因为f(x)的定义域为R,∀x∈R,-x∈R, f(0)=0, 当x>0时,-x<0, 故f(-x)=-x2(-x+1)=x2(x-1)=f(x). 当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2(-x-1)=-x2(x+1)=f(x). 综上可得,对任意x∈R,有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤 (1)求出函数f(x)的定义域I. (2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步. (3)∀x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式. (2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数. 　函数奇偶性的图象特征 [例2] 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较