3.1.3 简单的分段函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.1.3　简单的分段函数 核心知识目标 核心素养目标 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 结合实例,加深对分段函数概念的理解及应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 分段函数 (1)定义:一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数. (2)特征:分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集. 1.若函数f(x)=则f(f(2π))等于(　B　) A.-1 B.π C.2π D.(2π)2 解析:因为f(2π)=-1, 所以f(f(2π))=f(-1)=π. 故选B. 2.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为　　　　,值域为　　　　.  解析:函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合. 答案:[-2,4]∪[5,8]　[-4,3] 3.若函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　 .  解析:由题意知,x≥0时,y=2, 当x<0时,y=-2. 故f(x)= 答案:f(x)= 　分段函数求值 [例1] 已知函数f(x)= (1)求f(-),f(),f(),f(f()); (2)若f(a)=6,求a的值. 解:(1)因为-∈(-∞,-1), 所以f(-)=-2×(-)=3. 因为∈[-1,1],所以f()=2. 又2∈(1,+∞), 所以f(f())=f(2)=2×2=4. 因为∈(1,+∞), 所以f()=2×=9. (2)由于x∈[-1,1]时,f(x)=2≠6,故a∉[-1,1]. 若a∈(-∞,-1),则-2a=6,得a=-3,符合题意; 若a∈(1,+∞),则2a=6,得a=3,符合题意. 所以a的值为-3或3. [即时训练1-1] (1)(2022·云南大理高一期中)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 (2)(2022·四川泸州期中)设函数f(x)=那么f(18)的值为　.  解析:(1)由f(1)=2,所以f(a)=-2, 当a>0时,2a+2=0, 解得a=-1,舍去; 当a≤0时,a+2+2=0, 解得a=-4.故选A. (2)因为函数f(x)= 所以f(18)=f(3×5+3)=f(3)=32=9. 答案:(1)A　(2)9 (1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验. 　分段函数的图象 探究角度1　根据分段函数解析式作出函数图象 [例2] (2022·辽宁凌源高一期中)已知函数f(x)= (1)若f(a)=5,求实数a的值; (2)画出函数的图象,并求出函数f(x)在区间[-2,2]上的值域. 解:(1)当a≥0时,由f(a)=a2+4=5,得a=1; 当a<0时,由f(a)=4-a=5,得a=-1. 综上,a=1或-1. (2)函数图象如图所示. 因为f(0)=4,f(2)=22+4=8, f(-2)=4-(-2)=6, 所以由图象知函数f(x)在[-2,2]上的值域为[4,8]. [即时训练21] 已知f(x)= (1)画出函数f(x)的图象; (2)求f(x)的定义域和值域. 解:(1) 作出f(x)的图象,如图所示. (2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1]. 画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示;若端点不包含在内,则用空心圈表示,应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分段取”. 探究角度2　根据函数图象写函数解析式 [例3] 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,求函数的解析式. 解:由图象可知,当x∈[-1,0]时函数图象是线段AC. 设直线AC对应的一次函数解析式为y=k1x+b1,将点A(-1,0)和C(0,2)的坐标代入,得解得 所以此时的函数解析式为y=2x+2,x∈[-1,0]; 当x∈(0,2]时函数图象是线段BC. 设直线BC对应的一次函数的解析式为y=k2x+b2,将点B(2,0)和C(0,2)的坐标代入,得 解得 所以此时的函数解析式为y=-x+2,x∈(0,2]. 综上,函数f(x)= [即时训练3-1] 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　　　.  解析:设线段AB段的方程为 y