2.1.3 基本不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.1.3　基本不等式的应用 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 2.掌握利用基本不等式求参数取值范围的方法. 1.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模与数学运算的核心素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值、条件最值和参数的取值范围,发展逻辑推理与数学运算素养. 基本不等式与最值 已知x,y都是正数,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值2. (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值. 1.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是(　AC　) A.ab有最大值 B.+有最小值 C.+有最小值4 D.a2+b2有最小值 解析:因为a>0,b>0,且a+b=1,所以a+b≥2,所以ab≤. 所以ab有最大值,当且仅当a==b时取得.故选项A正确. 当a=,b=时,+=<.故选项B错误. +==≥4,当且仅当a=b=时取得等号. 所以+有最小值4.故选项C正确. 当a==b时,a2+b2=<.故选项D错误.故选AC. 2.已知a>0,b>0,且a+=1,则ab的最大值为　　　　.  解析:因为1=a+≥2, 所以≤, 所以ab≤,当a=,即a=,b=1时取等号. 答案: 3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为　　　　.  解析:x2+2y2≥2=2=2,当且仅当x2=2y2,xy=1时等号成立. 答案:2 4.长为2L的铁丝,围成一个矩形,该矩形的最大面积为　　　　.  解析:设矩形一边长为x,则另一边为=L-x(0<x<L),故S=x(L-x)≤[]2=,当x=时取等号. 答案: 　利用基本不等式求解实际问题中的最值 [例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型),地面面积为48 m2,房屋正面每平方米的造价为1 200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少? 解:设房屋地面相邻两边的边长分别为x m,y m,靠墙的边长为x m,则xy=48. 房屋正面面积为3x m2; 房屋侧面(两个)面积为2×3y=6y(m2). 房屋总造价z=5 800+3x×1 200+6y×800 =5 800+1 200(3x+4y) ≥5 800+1 200×2 =5 800+4 800 =5 800+4 800×12 =63 400, 当且仅当即时,取等号. 综上,房屋地面相邻两边的边长分别为8 m,6 m,靠墙的边长为8 m,此时房屋总造价最低.最低总造价是63 400元. [即时训练1-1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m. (1)若设休闲区的长A1B1=x m,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)由休闲区的长A1B1=x,知休闲区的宽B1C1=, 故ABCD的长与宽分别是x+20,+8,故公园ABCD所占面积S=(x+20)(+8)=4 160+8x+(x>0). (2)整理(1)中解析式得,S=4 160+8x+≥4 160+2=5 760, 当且仅当8x=,即x=100时取等号,此时宽B1C1==40, 答:要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100 m、宽为40 m. 利用基本不等式求条件最值 探究角度1　“1”代换型 [例2] 已知x>0,y>0且+=1,求x+2y的最小值. 解:因为x>0,y>0且+=1. 所以x+2y=(+)(x+2y)=10++≥10+2=18, 当且仅当 即时,等号成立, 故当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18. [变式探究21] (1)本例中,若把“+=1”改成“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值; (2)将本例中的“+=1”改为“+=1”,求x+2y的最小值; (3)将本例中的“+=1”改为“8y+x=2xy”,求x+2y的最小值. 解:(1)因为x>0,y>0,x+2y=1, 所以+=(x+2y)(+)=8+++2=10++≥10+2=18. 当且仅当=时取等号, 结合x+2y=1,得x=,y=, 所以当x=,y=时,+取到最小值18. (2)x+2y=(x+1)+2y-1=[(x+1)+2y](+)-1=(8+++2)-1≥(10+2)-1=18-1=17,当且仅当=,即x+1=4y且+=1,也就是y=3,x=11时取等号. (