1.2.3 全称量词和存在量词-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

1.2.3　全称量词和存在量词 核心知识目标 核心素养目标 1.通过已知的数学实例,理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的意义. 2.掌握判断全称命题和特称命题真假的基本原则和方法. 3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定. 4.能正确使用全称量词对特称命题进行否定. 5.会判断全称命题和特称命题的否定的真假. 1.通过对全称量词与存在量词、全称命题和特称命题等概念的学习,发展数学抽象的核心素养. 2.通过判断全称命题和特称命题的真假,增强逻辑推理的核心素养. 3.通过全称命题与特称命题的否定的学习,发展数学抽象、逻辑推理的核心素养. 4.通过全称命题与特称命题的否定的应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.全称量词与全称命题 全称 量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词 符号表示 ∀ 全称 命题 定义 含有全称量词的命题,叫作全称命题 一般形式 对M的任一个元素x,有p(x)成立 符号表示 ∀x∈M,p(x) 2.存在量词与特称命题 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词 符号表示 ∃ 特称 命题 定义 含有存在量词的命题,叫作特称命题 一般形式 存在M的某个元素x,使p(x)成立 符号表示 ∃x∈M,p(x) 3.全称命题的否定 全称 命题 全称命题的否定 结论 ∀x∈I, p(x) ∃x∈I, ﹁p(x) 全称命题的否定是特称命题 4.特称命题的否定 特称 命题 特称命题 的否定 结论 ∃x∈I, p(x) ∀x∈I, ﹁p(x) 特称命题的否定是全称命题 1.下列命题是特称命题的是(　B　) A.任意给定实数x,x2≥0 B.存在有理数x,使得3x-2=0 C.每一个有理数都能写成分数的形式 D.所有的自然数都大于或等于零 2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　C　) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立 解析:选项B,D是特称命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故应选C. 3.(2022·辽宁葫芦岛高一期中)命题“∀x≥0,x2-1≥-1”的否定是(　C　) A.∀x≥0,x2-1<-1 B.∀x<0,x2-1<-1 C.∃x≥0,x2-1<-1 D.∃x<0,x2-1<-1 解析:所给命题为全称命题,故其否定为特称命题,同时要否定结论,所以所给命题的否定为∃x≥0,x2-1<-1.故选C. 4.(2022·山东潍坊高一期中)命题“∃x>0,x+≥3”的否定是(　C　) A.∃x>0,x+≤3 B.∃x>0,x+<3 C.∀x>0,x+<3 D.∀x>0,x+≤3 解析:原命题为特称命题,因此其否定为全称命题,选C. 　全称命题与特称命题的判定 [例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题: (1)有一个实数a不能有平方根; (2)所有不等式的解集A,都满足A⊆R; (3)不相交的两条直线是平行直线; (4)锐角三角形的内角是锐角或钝角; (5)负数的平方是正数. 解:(1)中因为含有存在量词“有一个”,所以命题(1)为特称命题. (2)含有全称量词,所以(2)为全称命题. (3)可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”,因此是全称命题. (4)省略了“所有”,因此“锐角三角形的内角是锐角或钝角”是全称命题. (5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称命题. [即时训练1-1] 判断下列语句是全称命题,还是特称命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形的对角线不相等; (3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; (4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|; (5)方程3x-2y=10有整数解. 解:(1)可以改为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,故为全称命题. (2)可以改为“所有矩形的对角线不相等”,故为全称命题. (3)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题. (4)含存在量词“有些”,故为特称命题. (5)可改写为“存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立”.故为特称命题. (1)判断一个命题是否为全称命题或特称命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词. (2)要注意有些全称命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称命题或特称命题的表述方法可能不同. 全称命题可能省略全称量词,特称命题的存在量词一般不能省略. 　全称命题与特称命题真假的判断 [例2]