1.2.2 充分条件和必要条件-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

1.2.2　充分条件和必要条件 核心知识目标 核心素养目标 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义. 4.会判断一些简单的充要条件问题. 5.能对充要条件进行证明. 1.通过对必要条件、充分条件的学习和理解,体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用,提升逻辑推理、数学抽象的核心素养. 2.通过应用充分性、必要性解决一些简单的问题,加强逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.通过充要条件的意义的理解与学习,发展数学抽象的核心素养. 4.通过对充要条件的判断与证明,增强逻辑推理素养与数学抽象的核心素养. 1.充分条件和必要条件 当“若p,则q”成立,即p⇒q时,把p叫作q的充分条件,q叫做p的必要条件. 2.充要条件 如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.即p既是q的充分条件,又是q的必要条件,此时我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.当然,此时q也是p的充分必要条件. 换句话说,如果一个命题和它的逆命题都成立,则此命题的条件和结论互为充分必要条件. 3.充分、必要条件与判定定理、性质定理的关系 (1)判定定理是数学中一类重要的定理,阐述了结论成立的依据,也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件. (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理,阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质,其作用是揭示这个研究对象的某个特征,性质定理给出了结论成立的必要条件. 1.“△ABC是有一个角为60°的等腰三角形”,是“△ABC是正三角形”的(　C　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:由△ABC是正三角形的定义可知,“△ABC是有一个角为60°的等腰三角形”是“△ABC是正三角形”的充要条件,因此选C. 2.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的　　　条件.(选填“充分”或“必要”)  答案:充分 3.“x2=1”是“x=1”的　　　条件.(选填“充分”或“必要”)  答案:必要 4.“a=b”是“ac=bc”的　　　条件.(选填“充分”或“必要”)  答案:充分 　充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)p:|x|=|y|,q:x3=y3; (2)p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,∠C>∠B; (3)p:A⊆B,q:A∪B=B; (4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等. 解:(1)因为|x|=|y|时,x=±y,不一定有x3=y3,而x3=y3时一定有x=y,必有|x|=|y|, 所以p是q的必要不充分条件. (2)由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件. (3)若A⊆B,则一定有A∪B=B,反之,若A∪B=B,则一定有A⊆B,故p是q的充要条件. (4)若两三角形全等,则面积一定相等,若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可),却不一定有两三角形全等,故p是q的充分不必要条件. [即时训练1-1] 判断下列各题中,p是q的什么条件. (1)p:四边形对角线相等,q:四边形是平行四边形; (2)p:二次方程ax2+bx+c=0有实根,q:ac<0; (3)p:x2+y2=0,q:xy=0; (4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA. 解:(1)四边形的对角线相等,不一定是平行四边形(如等腰梯形),而平行四边形的对角线不一定相等. 因此p是q的既不充分又不必要条件. (2)若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0,此时不一定有ac<0,反之,若ac<0,则必有b2-4ac>0,即二次方程ax2+bx+c=0一定有实根,故p是q的必要不充分条件. (3)若x2+y2=0,则x=y=0,此时必有xy=0,反之,却不一定成立,如x=0,y=2满足xy=0但x2+y2≠0,因此p是q的充分不必要条件. (4)若A∩B=A,则A⊆B,此时必有∁UB⊆∁UA,反之成立,因此p是q的充要条件. 判断充分必要条件常用定义法,主要判断步骤如下: (1)分清条件p和结论q:分清哪个是条件,哪个是结论. (2)判断推式的真假:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假. (3)下结论:根据定义下结论. 　充分条件、必要条件与集合的关系 [例2] 指出下列各题中,p是q的什么条件. (1)p:x<1,q:x≤2; (2)p:x>0,y>0,q:xy>0; (3)p:0<x<5,q:0<x≤3. 解:(1)因为{x|x<1}⫋{x|x≤2},所以p⇒q,但qp,p