4.5 函数模型及其应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

4.5　函数模型及其应用 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 4.5.2　形形色色的函数模型 选题明细表 知识点、方法 题号 利用已知函数模型解决问题 2,3,4,6,8 自建函数模型解决问题 1,5,9 函数模型综合应用 7,10,11 基础巩固 1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　D　) 解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D. 2.(2021·四川泸州月考)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家们通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震级数M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的300倍,则两次地震的震级数大约相差(参考数据:lg 3≈0.5)(　B　) A.0.5 B.1.7 C.2 D.2.5 解析:设某次地震释放出的能量为E2,另一次为E1, 某次地震级数为M2,另一次为M1, 故E2=300E1, 代入关系式lg E=4.8+1.5M可得, 故lg E2-lg E1=1.5(M2-M1), 即lg=1.5(M2-M1), 因为E2=300E1, 所以1.5(M2-M1)=lg 300=lg 3+lg 100=lg 3+2≈2.5, 所以M2-M1≈≈1.7.故选B. 3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃的保鲜时间是16小时,则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　A　) A.4小时 B.8小时 C.16小时 D.32小时 解析:因为该食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b是常数).该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃ 的保鲜时间是16小时,所以解得e18k=,所以该食品在36 ℃的保鲜时间y=e36k+b=(e18k)2·eb=()2×64=4.故选A. 4.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28, T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　B　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析:因为R0=1+rT,所以3.28=1+6r, 所以r=0.38. 若 则=2,0.38(t2-t1)=ln 2≈0.69, t2-t1≈1.8.故选B. 5.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(单位:cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过　 　　　min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.  解析:依题意,有a·e-b·8=a, 所以b=ln 2,则y=a·. 若容器中的沙子只有开始时的, 则有a·=a,解得t=24, 所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案:16 6.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为 1 m/s,则a=　　 　,b=　　　　.  解析:由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为30个单位, 故有a+blog3=0,即a+b=0. 当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s, 故a+blog3=1,整理得a+2b=1. 解方程组得 答案:-1　1 能力提升 7.(2022·贵州毕节高一上期中)为了给地球减负,提高资源利用率, 2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12 800万元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301) (　C　) A.2023年 B.2024年 C