5.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 (1)值域与最值 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1. 知识探究 数学 数学 小试身手 B 1.方程sin x=2a-1(x∈R)中a的取值范围是(　 　) A.R B.[0,1] C.(0,1) D.[0,2] 解析:因为x∈R,所以-1≤sin x≤1, 所以-1≤2a-1≤1,所以0≤a≤1. 故选B. 数学 A 数学 3.函数f(x)=2-3cos x的值域是　　　　,函数在[-2π,0]上的单调递减区间是　　　　.  解析:因为-1≤cos x≤1, 所以-3≤-3cos x≤3, 所以-1≤2-3cos x≤5. 故函数f(x)的值域是[-1,5]. 函数f(x)=2-3cos x的单调递减区间即为函数y=cos x 的单调递增区间, 即[2kπ-π,2kπ](k∈Z),结合已知区间[-2π,0]知函数的单调递减区间是[-π,0]. 答案:[-1,5]　[-π,0] 数学 4.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　.(用“>”连接)  解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上为减函数,所以cos 1>cos 2> cos 3. 答案:cos 1>cos 2>cos 3 数学 课堂探究·素养培育 探究角度1　利用图象确定函数的单调区间 探究点一 正、余弦(型)函数的单调性 数学 数学 方法总结 (1)研究三角函数的单调性时,若函数的图象容易作出(或不能直接利用y=sin x,y=cos x的单调性求解,可以作出函数图象),结合图象研究函数性质. 数学 易错警示 本例中,由于函数y=|sin x|周期为π,因此函数的单调性中应为kπ (k∈Z)的形式. 数学 [例2] 分别求下列函数的单调区间. 数学 [例2] 分别求下列函数的单调区间. 数学 答案:(1)ABD 数学 数学 方法总结 求正弦、余弦型函数单调区间的方法 (3)当A<0时,要注意单调区间的变化,谨防将增区间与减区间混淆. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. (1)sin 194°与cos 160°; 探究角度3　利用正、余弦函数单调性比较大小 解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°. 因为0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在区间(0°,90°)上为增函数,所以sin 14°<sin 70°, 所以-sin 14°>-sin 70°, 所以sin 194°>cos 160°. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin 40°, sin 700°=sin(720°-20°)=sin(-20°), 又函数y=sin x在[-90°,90°]上为增函数, 所以sin 40°>sin(-20°), 所以sin(-320°)>sin 700°. [即时训练3-1] 比较下列各组数的大小. (1)sin(-320°)与sin 700°; 数学 [即时训练3-1] 比较下列各组数的大小. 数学 方法总结 三角函数值大小比较的策略 (2)不同名的函数化为同名的函数. (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 数学 探究点二 正、余弦(型)函数的值域与最值 探究角度1　正、余弦(型)函数的最值问题 [例4] 求下列函数的最值,并求函数取最值时,相应x的值. 数学 [例4] 求下列函数的最值,并求函数取最值时,相应x的值. 数学 [即时训练4-1] 求下列函数最值,并求取最大值和最小值时x的值. (1)y=1-3cos 2x; 数学 [即时训练4-1] 求下列函数最值,并求取最大值和最小值时x的值. 数学 方法总结 数学 探究角度2　形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型最值问题 数学 数学 方法总结 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设sin x=t,将函数y= asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0)(-1≤t≤ 1),根据二次函数的单调性求值域(最值). 数学 备用例题 [例1] (多选题)已知f(x)=-sin x,则下列区间是函数的单调递减区间的是(　　) 解析:法一　作出函数f(x)=-sin x的图象如图所示. 可知函数的单调