3.2.2 函数的奇偶性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

3.2.2　函数的奇偶性 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何 意义. 2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用. 1.通过函数奇偶性的概念和几何意义的学习,让学生结合实例,利用图象抽象出函数性质,达成直观想象和数学抽象的核心素养. 2.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思想方法,发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 函数的奇偶性 (1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称. (2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称. 知识探究 数学 小试身手 1.下列函数是偶函数的是(　 　) D 数学 2.f(x)为定义在R上的奇函数,若f(2)=3,则f(-2) 等于(　 　) A.-3 B.-2 C.3 D.2 A 解析:函数f(x)是奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.故选A. 数学 3.下列所给四个函数图象中,是偶函数的是　　 　　,是奇函数的是　 　　　(填序号).  解析:①的图象关于y轴对称,②③的图象关于原点对称,④的图象不具有对称性. 答案:①　②③ 数学 数学 课堂探究·素养培育 [例1] 判断下列函数的奇偶性. 探究点一 函数奇偶性的判定 (1)f(x)=x3+x; 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 因此函数f(x)是奇函数. 数学 [例1] 判断下列函数的奇偶性. 数学 [例1] 判断下列函数的奇偶性. 解:(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)f(x)=|x+3|+|x-3|. 解:(4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数. 数学 [即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性. (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; 解:(2)函数f(x)=|x+1|+|x-1|的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)= |-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以函数f(x)为偶函数. 数学 [即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性. 数学 [即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性. 数学 方法总结 根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤 (1)求出函数f(x)的定义域I. (2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步. (3)∀x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 数学 易错警示 (1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式. (2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数. 数学 [例2] 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小. 探究点二 函数奇偶性的图象特征 解:法一　因为函数f(x)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称,补全图象如图. 由图象可知f(1)<f(3). 数学 法二　由图象可知f(-1)<f(-3). 又函数y=f(x)是偶函数, 所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3). 所以f(1)<f(3). 数学 [变式训练2-1] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢? 解:法一　因为函数f(x)是奇函数, 所以其图象关于原点对称,补全图象如图. 由图象可知f(1)>f(3). 法二　由图象可知f(-1)<f(-3). 又函数y=f(x)是奇函数, 所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3). 所以-f(1)<-f(3).所以f(1)>f(3). 数学 方法总结 涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题. 数学 [例3] 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1. 探究点三 利用函数的奇偶性求解析式 (1)求f(-1); 解:(1)因为函数f(