7.3 独立性检验问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§3　独立性检验问题 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 学习目标 1.了解独立性检验的基本思想,掌握分类变量和列联表的概念,并会依据列联表判断两个分类变量是否独立,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.理解独立性检验的初步应用,理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想的应用,提升数学抽象和数学运算素养. 问题1:为了调查胃病是否与生活规律情况有关,在某地对540名40岁以上的人的调查结果如表: 生活规律情况 患胃病情况 患胃病 未患胃病 生活有规律 20 200 生活不规律 60 260 计算以下两个比值:生活有规律人群中患胃病的人所占的比值和生活不规律人群中患胃病的人所占的比值,你会得到什么结论? 提示:生活有规律人群中患胃病的人所占的比值是==, 生活不规律人群中患胃病的人所占的比值是==, 后者远大于前者,可以认为40岁以上的人患胃病与生活不规律有关. 1.独立性检验 上述2行2列的表,在统计中称为2×2列联表,在这个问题中,需要考虑两个变量:生活是否有规律,是否患胃病;每个变量应取两个值:生活有规律、生活不规律,患胃病、未患胃病,我们的问题是如何根据表中的数据来判断患胃病与生活不规律是否有关系,即它们是否独立?这一问题称为2×2列联表的独立性检验. 设A,B为两个变量,每一个变量都可以取两个值,变量A:A1,A2=;变量B:B1,B2=,有2×2列联表如表: A B B1 B2 总计 A1 a b a+b A2 c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 其中,a表示变量A取A1,且变量B取B1时的数据;b表示变量A取A1,且变量B取B2时的数据;c表示变量A取A2,且变量B取B1时的数据;d表示变量A取A2,且变量B取B2时的数据. 问题2: 生活规律 情况(A) 患胃病情况(B) 患胃病(B1) 未患胃病(B2) 总计 生活有规律(A1) 20 200 220 生活不规律(A2) 60 260 320 总计 80 460 540 根据这个2×2列联表,用频率估计概率,计算P(A1),P(B1),P(A1B1),并验证是否有P(A1B1)=P(A1)P(B1)成立,你得到什么结论? 提示:P(A1)==,P(B1)==,P(A1B1)==, 显然P(A1B1)=P(A1)P(B1)不成立,说明A1,B1不独立. 2.独立性检验的基本思想 (1)χ2的独立性检验是利用χ2的大小检验变量A和B是否独立的方法. (2)χ2的计算公式:χ2=,其中n=a+b+c+d. (3)利用χ2临界值对变量的独立性进行判断. ①当χ2≤2.706时,没有充分的证据判断变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的; ②当χ2>2.706时,有90%的把握判断变量A,B有关联; ③当χ2>3.841时,有95%的把握判断变量A,B有关联; ④当χ2>6.635时,有99%的把握判断变量A,B有关联. 2×2列联表 [例1] (1)如表是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为(　　) X Y Y1 Y2 总计 X1 b 21 e X2 c 25 33 总计 a d 106 A.96,94 B.60,52 C.52,54 D.50,52 (2)在调查的480名男性中有38名患有色盲,520名女性中有6名患有色盲,试作出性别与色盲的2×2列联表. (1)解析:由c+25=33,得c=8. 由e+33=106,得e=73. 则b=73-21=52, a=b+c=52+8=60. 所以表中a,b的值分别为60,52.故选B. (2)解:根据题目所给的数据作出列联表: 性别 患色盲情况 患色盲 不患色盲 总计 男 38 442 480 女 6 514 520 总计 44 956 1 000 (1)作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别,计算时要准确无误. (2)利用2×2列联表分析两变量间的关系时,首先要根据题中数据获得2×2列联表,然后根据频率特征,即将与(或与)的值相比,直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,但方法较粗劣,后面学习比较准确的统计方法. [针对训练] 为比较甲、乙两所学校学生的数学学习水平,经过抽样并测试得到2×2列联表: 学校 数学成绩 不优秀 优秀 总计 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 总计 71 17 88 根据表格得到乙校数学成绩优秀的频数和样本容量数分别是(　　) A.33和88 B.10和88 C.7和45 D.7和88 解析