7.3.1 独立性检验&7.3.2 独立性检验的基本思想&7.3.3 独立性检验的应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦独立性检验的概念辨析、χ²计算与实际应用，构建“概念-原理-应用”逻辑链条，强化数据观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（1,2,6）|判断适用场景，辨析检验原理|从独立性检验概念生成，理解小概率原理| |χ²计算与判断|6题（3,4,5,7,8,9）|列联表构造与补充，χ²值计算及临界值判断|原理推导→统计量计算→关联性判断| |综合应用|5题（10,11,12,13,14）|实际问题建模与结论解释|应用拓展至生活场景，培养模型意识|

3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 1.在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是（　　） A．频率分布直方图　 B．回归分析 C．独立性检验　 D．用样本估计总体 2.给出下列实际问题： ①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系． 其中用独立性检验可以解决的问题有（　　） A．①②③　 B．②④⑤ C．②③④⑤　 D．①②③④⑤ 3.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（　　） A．χ2＞6.635　 B．χ2＜6.635 C．χ2＞3.841　 D．χ2＜3.841 4.表中是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表，则χ2的值约为（　　） 班级 考试成绩 不及格 及格 总计 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 总计 21 69 90 A．0.559　 B．0.456 C．0.443　 D．0.4 5.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 男生 4 8 女生 16 2 则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（　　） 附： P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 3.841 6.635 7.879 10.828 A．95%　 B．99% C．99.5%　 D．99.9% 6.〔多选〕下列关于独立性检验的说法中，正确的是（　　） A．独立性检验依据小概率原理 B．利用独立性检验原理得到的结论一定正确 C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D．独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法 7.博鳌亚洲论坛2025年年会于3月25日至28日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d=　　　　． 性别 会俄语情况 会俄语 不会俄语 总计 男 a b 20 女 6 d 总计 18 30 8.在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2≥3.841时，至少有95%的把握说明两个事件有关；当χ2≥6.635时，至少有99%的把握说明两个事件有关；当χ2＜3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2=20.87.根据这一数据，我们可认为打鼾与患心脏病　　　　（填“有关”或“无关”）． 9.为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 性别 疗效 无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计 21 79 100 由上表中数据计算得χ2≈　　　　，从而得出结论：有　　　　的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关． 10.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 是否需要志愿者 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 11.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A100天的日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表： 　　　　　夜晚天气 日落云里走　　　　　 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 经计算得到χ2≈19.05，下列对地区A天气的判断不正确的是（　　） 附： P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为 C．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨 12.〔多选〕有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示： X Y Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若有95%的把握判断X，Y有关，则a的值为（　　） A．6　 B．7 C．8　 D．9 13.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有　　　　人． 参考数据及公式：χ2=，n=a＋b＋c＋d． P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 14. 某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的．若被调查的男生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，求n的最小值． 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 1.C　根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出χ2，得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验. 2.B　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验. 3.A　有99%的把握认为事件A和B有关系，由独立性检验可知应为χ2＞6.635. 4.A　χ2＝≈0.559，故选A. 5.C　由已知，2×2列联表为 偏爱蔬菜 偏爱肉类 总计 男生 4 8 12 女生 16 2 18 总计 20 10 30 则χ2＝＝10＞7.879，故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，故选C. 6.ACD　根据独立性检验的概念，可得独立性检验依据小概率原理，所以A正确；利用独立性检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有误，所以B错误；利用独立性检验时与样本的选取有关，所以样本不同，独立性检验的结论可能有差异，所以C正确；例如回归分析也能判定两类事物的相关性，所以独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法，所以D正确，故选A、C、D. 7.8　解析：由2×2列联表的性质，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8. 8.有关　解析：当χ2＝20.87＞6.635时，至少有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关. 9.4.882　95%　解析：由公式计算得χ2≈4.882.因为χ2＞3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关. 10.解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%. （2）χ2＝≈9.967. 由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. （3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层随机抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 11.D　用频率估计概率可得，夜晚下雨的概率约为＝，故A判断正确；未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为＝，故B判断正确；由χ2≈19.05＞10.828，可得有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故C判断正确，D判断不正确.故选D. 12.CD　根据公式，得χ2＝ ＝＞3.841，根据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意. 13.12　解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下： 性别 是否追星 追星 不追星 总计 男生 x 女生 总计 x 若有95%把握认为是否追星和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝＝x≥3.841，解得x≥10.24，因为，，均为整数，所以若有95%把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人. 14.解：由题意得到如下列联表： 性别 看篮球赛情况 喜欢 不喜欢 总计 男 n 女 总计 n 所以χ2＝＝. 因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以χ2＞3.841， 即＞3.841，得n＞≈10.24. 又，，为整数，所以n的最小值为12. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $