6.2.1-2.2 第2课时 离散型随机变量分布列求法-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　离散型随机变量分布列求法 用列举法求分布列 [例1] 设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S. (1)记“有序数组(m,n)满足m+n=0”为事件A,试列举A包含的基本事件; (2)设X=m2,求X的分布列. 解:(1)由x2-x-6≤0得-2≤x≤3, 即S={x|-2≤x≤3}. 由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件有(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)m的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,3, 所以X=m2的所有可能取值为0,1,4,9, 且P(X=0)=,P(X=1)==, P(X=4)==,P(X=9)=. 故X的分布列为 X 0 1 4 9 P 确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求分布列的关键,求概率经常采用古典概型中的列举法,列举法经常利用的方法有树状图法、列表法、借助数轴等,不管采用什么方法,都要合理分类和分步,注意有序和无序. [针对训练] 一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球,2个红球,从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率; (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数,求X的分布列. 解:(1)记A为“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”,3个白球、2个红球分别记为白1,白2,白3,红1,红2,从中摸出2个球有(白1白2),(白1白3),(白1红1),(白1红2),(白2白3),(白2红1),(白2红2),(白3红1),(白3红2),(红1红2),共10种情况,从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有(白1红1),(白1红2),(白2红1),(白2红2),(白3红1),(白3红2),共6种情况,所以P(A)==,摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)X表示摸出的2个球中的白球个数,则X可取0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 则X的分布列为 X 0 1 2 P 利用排列组合求分布列 [例2] 甲、乙参加英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试,至少答对2道题才算合格. (1)若一次考试中甲答对的题数是ξ,求ξ的分布列,并求甲合格的概率; (2)若答对1题得5分,答错1题扣5分,记Y为乙所得分数,求Y的分布列. 解:(1)依题意,ξ的可能取值为0,1,2,3, P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==, 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以甲合格的概率P=P(ξ≥2)=+=. (2)依题意,乙答3题,答对题数可能为1,2,3,则Y的可能取值为-5,5,15, P(Y=-5)==, P(Y=5)==, P(Y=15)==, 所以Y的分布列为 Y -5 5 15 P 求分布列中每一个取值的概率经常用到排列组合的知识,有序用排列,无序用组合,其关键依然是分析基本事件是有序还是无序. [针对训练] 一个袋子里面有4个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,现从中依次取2个球,求下列条件下取出白球个数X的分布列: (1)每次取后不放回; (2)每次取后放回. 解:(1)由题意知,X的可能取值为0,1,2. P(X=0)===, P(X=1)==, P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (2)由题意知,X的可能取值为0,1,2. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 利用独立事件求分布列 [例3] 甲、乙、丙三人各自独立地加工同一种零件,已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率是,乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是,甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是.记事件A,B,C分别是甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品. (1)分别求出事件A,B,C的概率P(A),P(B),P(C); (2)从甲、乙、丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验,记这3个零件是一等品的个数为η,求随机变量η的分布列. 解:(1)根据题意,P(A)[1-P(B)]=,① P(B)P(C)=,② P(A)P(C)=,③ 由②③得P(B)=P(A)≤,④ 将④代入①得P(A)[1-P(A)]=, 解得P(A)=, 所以P(B)=,P(C)=. (2)由(1)得P()=,P()=,P()=, η的所有可能取值为0,1,2,3. P(η=0)=P()P()P()=, P(η=1)=P(