6.1.2 乘法公式与事件的独立性-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

1.2　乘法公式与事件的独立性 学习目标 1.理解并掌握乘法公式,并会利用乘法公式求解两个事件同时发生的概率,通过乘法公式的推导和两个事件独立的充要条件的推导,提升逻辑推理和数学抽象素养. 2.理解两个事件相互独立的概念和事件的独立性与条件概率的关系,通过相互独立事件的概念能够判断两个事件是否独立,提升逻辑推理和数学运算素养. 问题1:利用条件概率P(B|A)=(其中P(A)>0),可以得到P(AB)等于什么?说明所得公式的意义. 提示:P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0),事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率的积. 1.乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)和P(AB)=P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)称为乘法公式. 思考:利用两个事件同时发生的乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)如何得到三个事件同时发生的乘法公式? 提示:P(ABC)=P(AB)P(C|AB) =P(A)P(B|A)P(C|AB). 问题2:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗? 提示:有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此第一名同学抽奖结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事件A的发生不会影响事件B发生的概率.于是P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 2.条件概率与相互独立事件的关系 (1)如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件就叫作相互独立事件. (2)事件A与事件B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B). 如果A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立. 概率的乘法公式 [例1] 已知市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是(　　) A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 解析:记A为“甲厂产品”,B为“合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95, 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665.故选A. 求解两个事件同时发生的概率有两种方法 (1)利用乘法公式. (2)利用古典概型. 这两种方法是一致的,利用后者书写步骤比较简单. [针对训练] (1)10个考签中有4个难签,3个同学每人抽取一签(不放回),甲先抽,乙再抽,丙最后抽,则甲、乙、丙都抽到难签的概率为(　　) A. B. C. D. (2)一个盒子中有6个白球和4个黑球,这10个球除颜色外完全相同.每次从中不放回地任取1个球,连取两次.求: ①第一次取得白球的概率; ②第一、第二次都取得白球的概率; ③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. (1)解析:设A,B,C分别表示甲、乙、丙抽到难签, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=.故选A. (2)解:设事件A表示“第一次取得白球”,事件B表示“第二次取得白球”,则事件AB表示“第一、第二次都取得白球”,事件B表示“第一次取得黑球,第二次取得白球”,且P(B|A)=,P(B|)==. ①P(A)==,故第一次取得白球的概率为. ②P(AB)=P(A)P(B|A)=×=, 故第一、第二次都取得白球的概率为. ③P(B)=P()P(B|)=×=, 故第一次取得黑球而第二次取得白球的概率为. 条件概率与相互独立事件的 　关系 [例2] (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析:P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)==, P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),故甲与丁相互独立, P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙).故选B. 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法.由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响. (2)定义法.当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B相互独立. (3)条件概率法.当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. [针对训练] (多选题)已知P(A)=,P(