6.1.1 条件概率的概念-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　随机事件的条件概率 1.1　条件概率的概念 学习目标 1.结合古典概型,了解条件概率的概念,并会求简单的实际问题的条件概率,提升逻辑推理素养. 2.通过对现实生活中具体的条件概率问题的探究和选择不同的方法,能够正确计算条件概率,提升数学建模、数学运算素养. 1.条件概率 设A,B是两个事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.显然,0≤P(B|A)≤1. 2.条件概率的计算方法 (1)定义法:在样本空间Ω中分别计算概率P(AB)和P(A),利用定义P(B|A)=. (2)缩小样本空间:随机事件A的样本点构成了一个小样本空间A,在样本空间A中求事件B的概率,得到P(B|A). 条件概率的概念 [例1] 下面几种概率是条件概率的是(　　) A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率 B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率 D.某学生上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,则该学生在一次上学中遇到红灯的概率 解析:由条件概率的定义知B为条件概率.故选B. 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件下进行的. [针对训练] (多选题)下列是条件概率的有(　　) A.某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,则高一的女生获得冠军的概率 B.掷一枚均匀的骰子,求掷出的点数为3的概率 C.在一副扑克的52张(去掉2张王牌后)中任取 1张,已知抽到梅花的条件下,求抽到的是梅花 5的概率 D.商场进行抽奖活动,某位顾客中奖的概率 解析:由题意知,选AC. 条件概率的计算 角度1　利用定义求条件概率 [例2] 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈类节目,2个语言类节目,不放回地依次抽取2个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率; (4)在第2次抽到舞蹈节目的条件下,第1次抽到舞蹈节目的概率. 解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB, 事件“从6个节目中不放回地依次抽取2个节目”包含的基本事件数为n(Ω)==30. (1)根据分步乘法计数原理得n(A)==20,于是P(A)===,即第1次抽到舞蹈节目的概率为. (2)因为n(AB)==12,所以P(AB)===,即第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为. (3)法一　P(B|A)===. 故在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为. 法二　因为n(AB)=12,n(A)=20, 所以P(B|A)===. 故在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为. (4)因为P(B)===, 所以P(A|B)===. 故在第2次抽到舞蹈节目的条件下,第1次抽到舞蹈节目的概率为. 利用定义计算条件概率P(B|A)的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)=(其中P(A)>0),这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生. [针对训练] (1)一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球.若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为,事件“在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球”的概率为,则事件“第一次摸出红球”的概率为(　　) A. B. C. D. (2)盒中装有5个同种产品,其中3个一等品,2个二等品,不放回地从中取产品,每次取1个,求: ①取两次,两次都取得一等品的概率; ②取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得的是二等品的概率. (1)解析:记事件A表示“第一次摸出红球”,事件B表示“第二次摸出黄球”, 因为事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为,即P(AB)=, 又因为事件“在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球”的概率为,即P(B|A)==, 所以事件“第一次摸出红球”的概率为P(A)=×2=.故选D. (2)解:①有5个同种产品,其中3个一等品, 取两次,两次都取到一等品的概率为×=. ②记事件Ai表示“第i次取到一等品”,其中i=1,2. 取两次,已知第二次取得一等品,则第一次取得二等品的概率为P(|A2)===. 角度2　利用缩小样本空间求条件概率 [例3] 集合S={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从S中任取一个数,若甲先取(不放回),乙