5.2 排列问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§2　排列问题 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 学习目标 1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列,提升数学抽象素养. 2.掌握排列数公式,并会用排列数公式求值或证明,提升数学运算素养. 3.能用排列以及排列数公式解决简单的排列问题,提升逻辑推理素养. 问题:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 提示: 1.排列与排列数 (1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数:我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作. (3)排列问题:我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题. 思考:排列与排列数的区别是什么? 提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念.“排列”是指从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,它不是数,而是具体的一件事;“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数,它是一个数. 2.排列数公式 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种,所以=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].这个公式叫作排列数公式. (2)拓展. 排列 数公 式 乘积 式 =n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)] 阶乘 式 = 阶乘 =n(n-1)(n-2)·…·2·1=n! 规定 0!=1,=1 排列的概念 [例1] 从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆+=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线-=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? 上面四个问题属于排列问题的是(　　) A.①②③④ B.②④ C.②③ D.①④ 解析:因为加法满足交换律,所以①不是排列问题; 因为除法不满足交换律,所以②是排列问题; 若方程+=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题; 在双曲线-=1(a>0,b>0)中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故④是排列问题.故选B. 判断一个问题是不是排列问题,主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”:检验取出的m个元素是否重复. (2)“排”:检验取出的m个元素是否有顺序性,其关键方法是,交换两个位置看其结果是否有变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序. [针对训练] 下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动.其中一名同学参加上午的活动,另一名同学参加下午的活动,共有几种不同的选法? ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,共有几种不同的选法? ③从a,b,c,d四个字母中取出两个字母,共有几种不同的取法? ④从a,b,c,d四个字母中取出两个字母,然后按顺序排成一列,共有几种不同的取法? 其中是排列问题的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①④是排列问题,②③不是排列问题.故选B. 列举法写排列 [例2] 四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种坐法?将它们列出来. 解:先安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理得,有4×3×2×1=24(种)坐法,画出树形图. 由“树形图”可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. 变式探究:对本例,若加上限制条件:D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D),这样的排列有多少种? 解:由例2的树形图可知这样的排列共有24-6=18(种). 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围:“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式. (2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排列,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列. 排列数公式 [例3] 求解下列问题: (1)计算:; (2)解方程:=140; (3)解不等式:>6. 解:(1)===1. (2)根据原方程