3.4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 学习目标 1.理解直线、平面平行的判定与性质定理,能用向量的方法判断并证明空间中的直线、平面平行关系,积累直观想象经验,提升逻辑推理和数学运算素养. 2.理解直线、平面垂直的判定与性质定理,能用向量的方法判断并证明空间中的直线、平面垂直关系,积累直观想象经验,提升逻辑推理和数学运算素养. 问题1:设直线l,m的方向向量分别为l,m,平面α,平面β的法向量分别为n1,n2,若l∥m,l∥α,α∥β,那么其方向向量与法向量具有怎样的关系?能否用向量法证明平行关系?应注意什么? 提示:l∥m⇒l∥m,l∥α⇒l⊥n1,α∥β⇔n1∥n2. 可以.l∥m且l与m不重合⇔l∥m;l⊥n1,且l⊄α⇔l∥α;n1∥n2且α与β不重合⇔α∥β. 1.空间中的平行关系 设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 l∥m或l与m重合⇔l∥m; l∥α或l⊂α⇔l⊥n1; α∥β或α与β重合⇔n1∥n2 问题2:如图,根据直线、平面的位置关系,判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系? 提示:l⊥m,n1∥l,n1⊥n2. 2.空间中的垂直关系 (1)设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 l⊥m⇔l⊥m;l⊥α⇔l∥n1;α⊥β⇔n1⊥n2. (2)三垂线定理及其逆定理. ①三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 空间中的平行关系 [例1] (1)设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是(　　) A.l⊂α,m⊂β,且e1⊥n1,e2⊥n2 B.l⊂α,m⊂β,且e1∥e2 C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2 D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2 (2)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.证明:PA∥平面EDB. (1)解析:对于A,由线面垂直的性质可知,只要l⊂α,m⊂β,都有e1⊥n1,e2⊥n2,并不能说明α∥β,故A错误; 对于B,若l⊂α,m⊂β,且e1∥e2,则平面α,β平行或者相交,故B 错误; 对于C,由e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2,可得n1∥n2,则α∥β,故C正确; 对于D,若e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2,则平面α,β平行或者相交,故D错误.故选C. (2)证明:如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设PD=DC=a. 连接AC,交BD于点G,连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,),B(a,a,0). 法一　设平面EDB的法向量为n=(x,y,z), 又=(0,,),=(a,,-), 则即 即令z=1,则x=1,y=-1,所以n=(1,-1,1), 又=(a,0,-a),所以n·=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0.所以 n⊥. 又PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB. 法二　因为四边形ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心, 故点G的坐标为(,,0), 所以=(,0,-). 又=(a,0,-a),所以=2,即PA∥EG. 又EG⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB, 所以PA∥平面EDB. 法三　假设存在实数λ,μ使得=λ+μ, 即(a,0,-a)=λ(0,,)+μ(a,,-), 则 解得 所以=-+,又PA⊄平面EDB, 所以PA∥平面EDB. 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系. (2)通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明. [针对训练] (1)在空间直角坐标系中,a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量,n=(2,t,4)为平面α的一个法向量,且l∥α,则t等于(　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 (2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: ①FC1∥平面ADE; ②平面ADE∥平面B1C1F. (1)解析:因为l∥α,则a·n=2+2t+4=0,解得 t=-3.故选B. (2)证明:如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz,则有 D(0,0,0), A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以=(0,2,1),=(2,0,