3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 学习目标 1.能用向量语言表述直线并理解直线的方向向量,通过对方向向量概念的理解会求直线的方向向量,提升直观想象素养. 2.理解平面的法向量,并会求平面的法向量,通过应用平面的法向量解决一些简单的问题,提升空间想象、数学运算素养. 问题:在空间中,如何用向量表示空间中的一个点?在空间中,怎样可以确定一条直线? 提示:在空间中,我们取一定点O,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,我们把向量称为点P的位置向量;两点可以确定一条直线,直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线. 1.直线的方向向量 (1)设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量. (2)已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得=t a.满足上式的点P一定在直线l上,因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.  2.平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量.则n⊥α. 直线的方向向量 [例1] (1)(多选题)设(1,-2,-1),(3,-1,2)是空间直线l上的两点,则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A.(2,1,3) B.(4,1,6) C.(-,-,-) D.(2,-4,-2) (2)在三棱锥P-ABC中,E,O,G分别为PA,AC,OC的中点.过点G求作直线EO的一个方向向量. (1)解析:设点A(1,-2,-1),B(3,-1,2),那么=(2,1,3),即 为空间直线l的一个方向向量,=(-2,-1,-3)=( -,-,-) 也是空间直线l的一个方向向量.故选AC. (2)解:如图所示,取PE的中点H,连接HG, 则即是所求的一个方向向量.因为E,O,G,H分别是PA,AC,OC,PE的中点, 所以HG∥OE,所以是直线EO的一个方向向量.(答案不唯一) (1)利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行、垂直关系:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,则①l1∥l2(或l1与l2重合)⇔a∥b⇔a=kb;②l1⊥l2⇔a·b=0. (2)利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任意一点的位置. [针对训练] (1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=　　　　,y=　　　　.  (2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,0,1),B(2,6,3),P是线段AB上一点,且满足AP∶PB=3∶2,则直线AB的一个方向向量为　　　　　,点P的坐标为　　　　　.  解析:(1)由l1∥l2可知,向量(-7,3,4)和(x,y,8)共线,所以==,解得x=-14,y=6. (2)由题意得,=(0,6,2)是直线AB的一个方向向量.由AP∶PB=3∶2,得=. 设P(x,y,z),则(x-2,y,z-1)=(0,6,2), 即x-2=0,y=,z-1=2×, 解得x=2,y=,z=. 所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2), 点P的坐标为(2,,). 答案:(1)-14　6　(2)(0,6,2)　(2,,) 平面的法向量 [例2] 如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面ABB1A1的一个法向量; (2)求平面MD1B的一个法向量. 解:(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1, 所以n1=(1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量(答案不唯一). (2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, CM=2MC1,所以M,B,D1的坐标分别为(0,3,2),(3,3,0),(0,0,3), 因此=(3,0,-2),=(0,-3,1), 设n2=(x,y,z)是平面MD1B的一个法向量,则 n2⊥,n2⊥, 所以 取z=3,则x=2,y=1.于是n2=(2,1,3)是平面MD1B的一个法向量. (1)利用待定系数法求平面法向量的步骤. (2)求平面法向量的三个注意点. ①选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量. ②取特殊值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个取特殊值,得另两个值,就是平面的一个法向量. ③注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时,一定要注意这个坐标不为0. [针对训练] 如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC= 90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系