3.2 空间向量与向量运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§2　空间向量与向量运算 2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算 2.2.1　空间向量的加减法 2.2.2　空间向量的数乘运算 学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽象素养. 2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示以及它们的运算律,借助向量的线性运算的学习,提升数学运算素养. 3.理解共线向量、共面向量的充要条件,能证明共线、共面问题,通过类比、猜想、证明,将平面向量拓展到空间范畴,提升直观想象素养. 1.空间向量的有关概念 (1)在空间中,把具有大小和方向的量叫作空间向量,向量的大小叫作向量的长度或模. 空间向量用有向线段表示,表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模,用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向. (2)几类特殊的空间向量. 名称 定义及表示 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 自由向量 数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称之为自由向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示 零向量 规定模为0的向量叫作零向量,记为0 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).规定:零向量与任意向量平行 共面向量 平行于同一平面的向量,叫作共面向量 问题1:空间中的任意两个向量是否共面?为什么? 提示:共面.任意两个向量都可以平移到同一个平面内,因此空间中向量的加减运算与平面中一致. 2.空间向量的加减法 加法 运算 三角形 法则 语言 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形 平行四边 形法则 语言 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 图形 减法 运算 三角形 法则 语言 共起点,连终点,方向指向被减向量 图形 加法运 算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 问题2:在平面向量中的数乘运算的方向和大小是如何定义的? 提示:实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向;当λ=0时,λa=0. 3.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量类似,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何 意义 λ>0 向量λa与向量a方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 向量λa与向量a方向相反 λ=0 λa=0,其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb,其中λ∈R,μ∈R 4.共线向量基本定理 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理. 空间向量的有关概念 [例1] 下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量,满足||>||,则> D.相等向量其方向必相同 解析:A中,单位向量长度相等,方向不确定,故A错误; B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定,故B错误; C中,向量不能比较大小,故C错误.故选D. 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. [针对训练] (多选题)下列说法不正确的是(　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 C.模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D.不相等的两个空间向量的模可能相等 解析:对于A,零向量的相反向量是本身,故A错误; 对于B,终点构成一个球,故B错误; 对于C,向量不能比较大小,故C错误; 对于D,相反向量是不相等向量,但它们的模长相等,故D正确.故选ABC. 空间向量的加减运算 [例2] (1)(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是(　　) A.-- B.+- C.-- D.-+ (2)化简(-)-(-)=　　　　.  解析:(1)--=-=,A正确; +-=+=,B正确; --=-=-=≠,C错误; -+=++=+≠,D错误.故选AB. (2)(-)-(-) =--+ =+++ =+++=0. 答案:(1)AB　(2)0 空间向量的加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量的三角形法