2.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 学习目标 1.能在直观认识抛物线特点的基础上,用抛物线的标准方程推导出抛物线的简单几何性质,并能用它们解决简单的问题,从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 2.能通过抛物线简单几何性质的应用,将抛物线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模素养. 问题:类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法,你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质? 提示:范围、对称性、顶点、离心率. 抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图象 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 准线 方程 x=- x= y=- y= 顶点 坐标 O(0,0) 离心率 e=1 (1)只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. (2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径,通径长为2p. 抛物线的几何性质 [例1] (1)(多选题)关于抛物线y2=-2x,下列说法正确的是(　　) A.开口向左 B.焦点坐标为(-1,0) C.准线方程为x=1 D.对称轴为x轴 (2)抛物线的顶点在坐标原点,开口向上,其准线经过双曲线 -=1的一个顶点,则此抛物线的标准方程为(　　) A.x2=8y B.x2=12y C.y2=8x D.y2=12x 解析:(1)抛物线y2=-2x,开口向左,故A正确;焦点坐标为(-,0),故B错误;准线方程为x=,故C错误;对称轴为x轴,故D正确.故选AD. (2)因为双曲线方程为-=1,所以双曲线的下顶点为(0,-2),因为抛物线的准线过点(0,-2),所以-=-2,解得p=4,所以抛物线的标准方程为x2=2py,即x2=8y.故选A. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p,离心率恒等于1. [针对训练] 对抛物线y=x2,下列描述正确的是(　　) A.开口向上,焦点为(0,2) B.开口向上,焦点为(0,) C.开口向右,焦点为(2,0) D.开口向右,焦点为(,0) 解析:由题知,该抛物线的标准方程为x2=8y, 则该抛物线开口向上,焦点坐标为(0,2).故选A. 抛物线几何性质的应用 [例2] 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个三角形的边长. 解:如图所示, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又|OA|=|OB|,所以+=+, 即-+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0,x2>0,2p>0, 所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称,由此得∠AOx=30°,所以y1=x1,联立解得y1=2p,所以|AB|=2y1=4p,即这个三角形的边长为4p. 利用抛物线的几何性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦:解决焦点弦问题. [针对训练] (1)(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若y轴上存在点A(0,2),使得·=0,则p的值可以为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是　　　　.  解析:(1)由题意可得,以MF为直径的圆过点A(0,2),设点M(x,y),由抛物线的定义知|MF|=x+=5,可得x=5-. 因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心横坐标为=, 由已知可知圆的半径也为, 据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2), 故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4, 即点M(5-,4), 代入抛物线方程得p2-10p+16=0, 所以p=2或p=8.故选AD. (2)由抛物线方程可知F(1,0),准线l的方程为x=-1.如图,设点A在第一象限,且其坐标为(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H, 在Rt△AFH中, |FH|=