2.3.1 抛物线及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 学习目标 1.能从几何情境中认识抛物线的几何特征,给出抛物线的定义,提升直观想象素养. 2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,运用坐标法推导出抛物线的标准方程,并能用它解决简单的问题,进一步体会建立曲线方程的方法,提升直观想象、数学运算素养. 问题1:如图,先将一把直尺固定在画板上,再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l),然后取一根细绳,它的长度与另一条直角边AB相等,细绳的一端固定在三角板顶点A处,另一端固定在画板上的点F处. 用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子,并靠住三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线,即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗?它的轨迹是什么形状? 提示:点P运动的过程中,始终有|PF|=|PB|,即点P到定点F的距离等于它到定直线l的距离,点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线. 思考:在抛物线的定义中,如果定直线l经过定点F,则满足到定点和定直线距离相等的点的轨迹是什么图形? 提示:过点F且与直线l垂直的直线. 问题2:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立平面直角坐标系,可使所求抛物线的方程形式简单? 提示:取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,建立平面直角坐标系.设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为(,0),准线l的方程为x=-. 设M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义,得抛物线是点的集合P={M||MF|=d}. 则点M到F的距离为|MF|=,点M到直线l的距离为|x+|, 所以=|x+|, 将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0). 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) (,0) x=- y2=-2px(p>0) (-,0) x= x2=2py(p>0) (0,) y=- x2=-2py(p>0) (0,-) y= 做一做:焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　　　　.  解析:设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. 答案:x2=10y和x2=-10y (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的系数及其符号. 抛物线的定义 [例1] (1)如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过点P作圆A的切线l,当r(r≥|AB|)变化时,l与圆B的公共点的轨迹是(　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 (2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A为抛物线C上一点,若|AF|=3,则点A的横坐标为　　　　.  解析:(1)由题意画图如图所示. 设切线l与圆B的一个公共点为M,过点A作直线AB的垂线m,过点M作MN⊥m,垂足为N,连接MB,则|MB|=r,|MN|=|PA|=r,所以|MB|=|MN|,即动点M到定点B的距离等于动点M到定直线m的距离,且定点B不在定直线m上,根据抛物线的定义知,动点M的轨迹是以B为焦点,m为准线的抛物线.故选D. (2)设点A(x,y),因为|AF|=3,根据抛物线的定义,可得|AF|=x+=x+1=3,解得x=2,即点A的横坐标为2. 答案:(1)D　(2)2 理解抛物线的定义是解决问题的关键,要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征,但要注意的是定点不在定直线上. [针对训练] (1)已知M是抛物线y2=2x上一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于(　　) A.2 B. C.2 D.4 (2)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,点P在C上,Q(0,6),若|PF|=|QF|,则|PQ|=(　　) A.4 B.4 C.4 D.6 解析:(1)由题意可得F(,0), 设M(x0,y0)(y0>0),则解得或(舍去), 即M(,),所以|FM|=x0+=2.故选A. (2)由题知抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2), 因为Q(0,6),所以|PF|=|QF|=4, 因为点P在C上, 所以|PF|=|QF|=4=yP+2,解得yP=2, 所以P(±4,2),|PQ|=4.故选A. 抛物线的标准方程 角度