2.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.能利用类比的方法,通过双曲线的标准方程推导出双曲线的简单的几何性质,从中体会用方程研究几何性质的方法,提升数学抽象、直观想象、数学运算素养. 2.能通过双曲线简单几何性质的应用,将双曲线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模素养. 问题:观察-=1(a>0,b>0)的形状,类比椭圆的简单几何性质,你能得到双曲线的几何性质吗? 提示:范围:x≥a或x≤-a; 对称性:对称轴为x轴,y轴,对称中心为原点; 顶点:A1(-a,0),A2(a,0)等等. 双曲线的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点坐标 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) 轴长 实轴长=2a,实半轴长=a, 虚轴长=2b,虚半轴长=b 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= a,b,c 间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 做一做:已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,且离心率为,过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,若△OMF1的面积等于4(O为坐标原点),则实数b的值等于(　D　) A.4 B.1 C.3 D.2 解析:由题意知焦点F1到双曲线的一条渐近线的距离为|F1M|=b,因为|OF1|=c,所以|OM|=a,因为e==,所以a=2b,所以=|OM|·|F1M|=b×2b=4,解得b=2.故选D. (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的开口大小,e越大,开口越大. (2)焦点到渐近线的距离为b. (3)等轴双曲线e=,渐近线方程为y=±x. 双曲线的几何性质 [例1] (1)(多选题)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为F,则下列结论正确的是(　　) A.过点F的最短的弦长为 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D.双曲线C的渐近线方程为y=±x (2)求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. (1)解析:因为双曲线C的实轴长为6,焦距为10,故可得2a=6,2c=10,又c2=a2+b2, 故可得a=3,b=4,c=5,则双曲线C的方程为-=1,且F(5,0). 若过点F的直线斜率为零,显然该直线截双曲线的弦长为2a=6<,故A错误; 双曲线的离心率e==,故B错误; 设双曲线上任意一点P(x,y),x∈(-∞,-3]∪[3,+∞),则y2=x2-16, 则|PF|==,又y=x2-10x+9, 其图象的对称轴为直线x=, 故当x=3时,|PF|取得最小值2,故C正确; 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故D正确.故选CD. (2)解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1,即-=1, 所以a=3,b=2,c=. 因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e==,渐近线方程为y=±x=±x. 变式探究:若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0,n>0),求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长a=, 虚半轴长b=,c=, 焦点坐标为(,0),(-,0), 离心率e===, 顶点坐标为(-,0),(,0),渐近线方程为 y=± x, 即y=±x. 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而得出双曲线的几何性质. 由双曲线的几何性质求标准方程 [例2] 求符合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,中心为坐标原点,焦距为6,实轴长为4; (2)一个焦点为(-,0),一条渐近线方程为y=x; (3)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-). 解:(1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),焦距为2c, 由题意有 解得a=2,c=3,b2=c2-a2=9-4=5, 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)设所求双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0),化为标准方程得-=1, 由于该双曲线的一个焦点坐标为(-,0), 则+λ=3