2.2.1 双曲线及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 学习目标 1.能通过绘制双曲线的过程认识双曲线的几何特征,探究双曲线的定义,并能用它解决简单的问题,提升数学抽象素养. 2.类比椭圆标准方程的推导过程,能通过建立适当的平面直角坐标系,根据双曲线上的点满足的条件列出双曲线上的点的坐标满足的方程,化简列出的方程,得到双曲线的标准方程,并能用它解决简单的问题,从中体会建立曲线方程的方法,提升直观想象、数学运算素养. 　适当选取两定点F1,F2,将拉链拉开一段,其中一边的端点固定在F1处,在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度),作为动点P到两定点F1和F2距离之差,而后把它固定在F2处,这时将铅笔(粉笔)置于P处,于是随着拉链逐渐打开,铅笔(粉笔)就画出一条曲线,同理可画出另一支(如图).显然所画的曲线不是椭圆,而是两条相同的曲线,只是位置不同,其原因都是应用了“到两定点的距离之差 |PF1|-|PF2|或|PF2|-|PF1|是同一个常数”这个条件. 问题1:在上述过程中,我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|的长度,如果截取的长度等于|F1F2|的长度,其轨迹还是上述图形吗? 提示:不是,是以F1,F2为端点的两条射线. 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. (1)如果没有绝对值,点的轨迹表示双曲线的一支. (2)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (3)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (4)当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 问题2:类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的平面直角坐标系,求出双曲线的标准方程?双曲线的标准方程有几种形式? 提示:观察画出的双曲线,发现它也具有对称性,而且直线F1F2是它的一条对称轴,所以(1)以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,此时双曲线的焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),焦距为2c,c>0. 设P(x,y)是双曲线上任意一点,则||PF1|-|PF2||=2a(a为大于0的常数), 因为|PF1|=, |PF2|=, 所以-=±2a, 类比椭圆标准方程的化简过程,化简此方程, 得(c2-a2)·x2-a2y2=a2(c2-a2), 两边同除以a2(c2-a2),得-=1.由双曲线的定义知,2c>2a>0,即c>a,所以c2-a2>0,类比椭圆标准方程的建立过程,令b2=c2-a2,其中b>0,代入上式,得-=1(a>0,b>0). (2)以F1F2所在直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 得到的方程为-=1(a>0,b>0). 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 b2=c2-a2 双曲线的定义 [例1] (1)已知双曲线-=1(m>0),直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为(　　) A.8 B.9 C.16 D.20 (2)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的两个焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　) A.5 B.2 C.4 D.3 解析:(1)由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16. 根据双曲线的定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.故选B. (2)设|PF1|=4x,|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=4x-3x=x=2a=2, 故|PF1|=8,|PF2|=6,又|F1F2|=4, 故cos∠F1PF2==, 故sin∠F1PF2=, 所以△PF1F2的面积为×6×8×=3.故选D. (1)双曲线是两支,如果只是动点到两定点距离之差等于非零常数,则轨迹为双曲线的一支. (2)利用公式=×|PF1||PF2|sin∠F1PF2或利用公式=|F1F2||yP|可求得焦点三角形PF1F2的面积. [针对训练] (1)已知双曲线C:-=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上