2.1.2 椭圆的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

1.2　椭圆的简单几何性质 学习目标 1.能利用类比的方法,通过椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质,从中体会用方程研究几何性质的方法,提升数学抽象、直观想象、数学运算素养. 2.能通过椭圆简单几何性质的应用,将椭圆的实际问题转化为数学问题,提升数学建模素养. 问题1:观察椭圆+=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊? 提示:范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;对称性:对称轴为x轴,y轴,对称中心为原点; 顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b). 1.椭圆的几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长=2b,长轴长=2a 短半轴长=b,长半轴长=a 焦点 (±,0) (0,±) 焦距 |F1F2|=2 对称性 对称轴:x轴、y轴　对称中心:原点 思考:椭圆上任意一点到一个焦点的距离的最大值和最小值分别是多少? 提示:椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c. 做一做1:(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面 m km,远地点B(离地心最远的一点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为 R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　ABD　) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= 解析:因为地球的中心F是椭圆的一个焦点,结合图形可得 所以(*)故A,B正确; 由(*)可得2a=m+n+2R,故C不正确; 由(*)可得(m+R)(n+R)=a2-c2,又因为a2-c2=b2,所以b2=(m+R)(n+R),所以b=,故D正确.故选ABD. 问题2:观察图形,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 提示:利用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度. 2.椭圆的离心率 (1)椭圆的离心率e===∈(0,1). (2)e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆. 3.通径 过焦点且垂直于焦点所在的对称轴的弦,简称为通径.通径的长为. 做一做2:下列四个椭圆中,形状最扁的是(　A　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:由e=,根据选项中椭圆的方程,可得的值满足<<<.因为椭圆的离心率越大,椭圆的形状越扁,所以这四个椭圆中,椭圆+=1的离心率最大,故其形状最扁.故选A. 椭圆的几何性质 [例1] 已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其几何性质. 解:(1)由椭圆C1:+=1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8, 焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=. (2)椭圆C2:+=1.几何性质如下: ①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:对称轴为x轴、y轴;对称中心:原点;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6),焦距为12;⑤离心率:e=. 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论). (3)求出a,b,c的值. (4)写出椭圆的几何性质. [针对训练] (1)(多选题)若椭圆C:+=1上的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论中正确的是(　　) A.m=2 B.C的长轴长为2 C.C的长轴长为4 D.C的离心率为 (2)曲线+=1与曲线+=1(k<9且k≠0)的(　　) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 解析:(1)因为焦点坐标为(0,1),所以m2-1-m=1,解得m=2或m=-1(舍去), 所以椭圆C的方程为+=1,长轴长为2,离心率e==.故选AB. (2)曲线+=1表示焦点在x轴上,长轴长为10,短轴长为6,离心率为,焦距为8的椭圆. 曲线+=1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上,长轴长为2,短轴长为2,焦距为2=8,离心率为的椭圆.故选C. 由椭圆的几何性质求标准方程 [例2] 根据下列条件,求中心在原点,