2.1.1 椭圆及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　椭　圆 1.1　椭圆及其标准方程 学习目标 1.能通过实际绘制椭圆图形的过程认识椭圆的几何特征,探究椭圆的定义,并能用它解决简单的问题,提升数学抽象素养. 2.能通过建立适当的坐标系,根据椭圆上的点满足的条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程,化简列出的方程,得到椭圆的标准方程;从中体会建立曲线的方程的方法,提升直观想象、数学运算素养. 　　中国北斗卫星导航系统(英文简称BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统,也是继GPS、GLONASS之后的第三个成熟的卫星导航系统,可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务. 探究:卫星运行的轨迹是什么图形? 提示:椭圆. 问题1:取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 提示:椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距. 思考:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么?椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么? 提示:等于|F1F2|时,点的轨迹是线段F1F2.小于 |F1F2|时,点的轨迹不存在. 问题2:观察椭圆的形状,利用椭圆的定义,你认为怎样建立适当的坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单? 提示:观察可以发现椭圆具有对称性,而且过两焦点的直线是它的对称轴,所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,椭圆的焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0). 根据椭圆的定义,设M(x,y)与焦点F1,F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|}.因为|MF1|=,|MF2|=, 所以+=2a.① 为了化简方程①,我们将其左边一个根式移到右边,得=2a-.② 对方程②两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2, 整理,得a2-cx=a,③ 对方程③两边平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2, 整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),④ 将方程④两边同除以a2(a2-c2),得+=1,⑤ 由椭圆的定义可知2a>2c>0,即a>c>0, 所以a2-c2>0. 令b=,那么方程⑤就是+=1(a>b>0).⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点 坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 b2=a2-c2 椭圆的定义 [例1] (1)在如图所示的椭圆中,P为椭圆上一点,F为其一个焦点,以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系为两圆　　　　.  (2)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么? (1)解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F,F′分别是椭圆的左、右焦点,作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2,如图所示.设PF的中点为M,连接PF′,则OM是△PFF′的中位线,可得|OM|=|PF′|,即两圆的圆心距为|PF′|. 根据椭圆的定义,可得|PF|+|PF′|=2a, 所以圆心距|OM|=|PF′|=(2a-|PF|)=a-|PF|,即两圆的圆心距等于它们的半径之差,因此以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆x2+y2=a2相内切. 答案:内切 (2)解:如图,连接QA. 由已知,得|QA|=|QP|.所以 |QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|.根据椭圆的定义得,点Q的轨迹是以O,A为焦点的椭圆. 根据定义判断点的轨迹为椭圆应注意两点: (1)平面内的动点到两定点的距离之和为定值. (2)定值大于两定点之间的距离. [针对训练1] (多选题)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0)